关于作圆接三角形，使其三边各通过三已知点

chenmik

下面是这道题的解答，但这个定向KL是怎么确定的呢？还请大神解惑！

chenjun_nj

mahuan1279 发表于 2023-12-17 19:05
在极端情况，P、Q、R分别为圆内接正三角形的各边的中点。故猜测OP^2+OQ^2+OR^2>=3*r^2/4时有解。

可以举出反例：令OP=OQ=OR=R/2
那么R点所在的BC边所对应的圆周角>=60°，只要使P和Q点足够的近，可使∠PAQ<60°，此时无解。
我的思路是，固定P和Q点后，A点为圆周上的动点，那么BC线的包络是一个椭圆，R点在椭圆外有两解，
在椭圆周上有一解，在椭圆内部无解。

chenmik

yimin0519 发表于 2023-3-6 10:36
此法应该用于通无点、一点、两点、三点在圆内。（三点不共线）

感谢老师的解答。这里提供一个解法：


这个解法有个好处，可以扩展到：求作圆内接多边形，使各边分别经过一个已知点。

yimin0519

谢谢QJchen的“鼓励”，作法由来可能编辑得有点晦涩，主要是因为模仿楼主的图形，导致作图过程点线密集，但仔细看下去应该不难理解：

yimin0519

一般情况下应有两解：

yimin0519

此法应该用于通无点、一点、两点、三点在圆内。（三点不共线）

mahuan1279

chenmik 发表于 2023-4-16 14:08
感谢老师的解答。这里提供一个解法：

已知点应该满足一些限制关系才有解吧，比如想象圆心周边很近的几个点，那么应该没有解。

chenjun_nj

mahuan1279 发表于 2023-12-16 10:21
已知点应该满足一些限制关系才有解吧，比如想象圆心周边很近的几个点，那么应该没有解。

是的，看三点的位置。

mahuan1279

chenjun_nj 发表于 2023-12-16 12:13
是的，看三点的位置。

那有解的前提条件是啥？比如已知点的位置坐标，立马可以判断有无解。

chenmik

mahuan1279 发表于 2023-12-16 12:33
那有解的前提条件是啥？比如已知点的位置坐标，立马可以判断有无解。

对于作图题，我一般是关注在有解情况下的解法，关于有解无解的条件的探究很少，下面的结论仅供参考，不一定正确。

mahuan1279

chenmik 发表于 2023-12-17 14:50
对于作图题，我一般是关注在有解情况下的解法，关于有解无解的条件的探究很少，下面的结论仅供参考，不一 ...

在极端情况，P、Q、R分别为圆内接正三角形的各边的中点。故猜测OP^2+OQ^2+OR^2>=3*r^2/4时有解。