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[几何作图] 关于作圆接三角形,使其三边各通过三已知点

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发表于 2020-11-27 15:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
下面是这道题的解答,但这个定向KL是怎么确定的呢?还请大神解惑!

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发表于 2023-12-17 20:26 | 显示全部楼层
mahuan1279 发表于 2023-12-17 19:05
在极端情况,P、Q、R分别为圆内接正三角形的各边的中点。故猜测OP^2+OQ^2+OR^2>=3*r^2/4时有解。

可以举出反例:令OP=OQ=OR=R/2
那么R点所在的BC边所对应的圆周角>=60°,只要使P和Q点足够的近,可使∠PAQ<60°,此时无解。
我的思路是,固定P和Q点后,A点为圆周上的动点,那么BC线的包络是一个椭圆,R点在椭圆外有两解,
在椭圆周上有一解,在椭圆内部无解。
 楼主| 发表于 2023-4-16 14:08 | 显示全部楼层
yimin0519 发表于 2023-3-6 10:36
此法应该用于通无点、一点、两点、三点在圆内。(三点不共线)

感谢老师的解答。这里提供一个解法:


这个解法有个好处,可以扩展到:求作圆内接多边形,使各边分别经过一个已知点。


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发表于 2023-3-6 10:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 yimin0519 于 2023-3-6 12:36 编辑

谢谢QJchen的“鼓励”,作法由来可能编辑得有点晦涩,主要是因为模仿楼主的图形,导致作图过程点线密集,但仔细看下去应该不难理解:





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发表于 2023-3-6 04:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 yimin0519 于 2023-3-6 11:08 编辑

一般情况下应有两解:

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发表于 2023-3-6 10:36 | 显示全部楼层
此法应该用于通无点、一点、两点、三点在圆内。(三点不共线)
发表于 2023-12-16 10:21 | 显示全部楼层
chenmik 发表于 2023-4-16 14:08
感谢老师的解答。这里提供一个解法:

已知点应该满足一些限制关系才有解吧,比如想象圆心周边很近的几个点,那么应该没有解。
发表于 2023-12-16 12:13 | 显示全部楼层
mahuan1279 发表于 2023-12-16 10:21
已知点应该满足一些限制关系才有解吧,比如想象圆心周边很近的几个点,那么应该没有解。

是的,看三点的位置。
发表于 2023-12-16 12:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 mahuan1279 于 2023-12-16 12:34 编辑
chenjun_nj 发表于 2023-12-16 12:13
是的,看三点的位置。

那有解的前提条件是啥?比如已知点的位置坐标,立马可以判断有无解。
 楼主| 发表于 2023-12-17 14:50 | 显示全部楼层
mahuan1279 发表于 2023-12-16 12:33
那有解的前提条件是啥?比如已知点的位置坐标,立马可以判断有无解。

对于作图题,我一般是关注在有解情况下的解法,关于有解无解的条件的探究很少,下面的结论仅供参考,不一定正确。


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发表于 2023-12-17 19:05 | 显示全部楼层
chenmik 发表于 2023-12-17 14:50
对于作图题,我一般是关注在有解情况下的解法,关于有解无解的条件的探究很少,下面的结论仅供参考,不一 ...

在极端情况,P、Q、R分别为圆内接正三角形的各边的中点。故猜测OP^2+OQ^2+OR^2>=3*r^2/4时有解。
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