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[越飞越高] 一个比较简单的证明题

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发表于 2021-8-30 08:30 | 显示全部楼层 |阅读模式


如图:在等腰直角三角形ABC,D,E,F分别在三边上,且CE=AD,AF⊥DE.
求证:AF=DE.
贴贴你们的好方法。方法不限。

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发表于 2021-8-30 08:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 bluelover 于 2021-8-30 09:08 编辑

作FG垂直AB于G
发表于 2021-8-30 14:20 | 显示全部楼层
坐标法。以BC的中点O为原点建立直角坐标系,A(0,a),B(-a,0),C(a,0),设E(a-x,x),D(-x,a-x),所以ED^2=a^2+(2x-a)^2,AF的斜率为a/(a-2x),所以F点坐标为(2x-a,0),所以AF^2=a^2+(2x-a)^2=ED^2,故AF=ED

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发表于 2021-8-30 14:41 | 显示全部楼层
如果这个问题延伸一下,可能就比较难了:

1)其逆命题:

如前述图:等腰直角三角形中ABC,满足AF垂直于DE ,且AF=DE
试证明: AD=CE。

2)目前我没证明出来,但感觉应该是成立的:

在等腰三角形ABC中, 只有对于等腰直角三角形,1楼所说性质才成立。
否则当满足CE=AD且AF垂直DE时候, AF不等于DE 。

估计如果这个成立,证明应该很困难。
发表于 2021-8-30 15:23 | 显示全部楼层
坐标法很赞
发表于 2021-8-30 19:30 | 显示全部楼层
过E作GE//BC交AB于G,过G作GF'垂直于AB交BC于F',连接AF',显然GF'=BG=CE=AD,AG=AE,所以直角三角形AGF'全等于直角三角形EAD,所以AF'=DE,角GAF'=角AED,所以AF'垂直DE,即F和F'共点。所以AF=DE

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发表于 2021-9-1 10:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 urings 于 2021-9-1 11:38 编辑

这种方法可以逆向证明AD=CE
两张图片是一样的,不知怎么删除一张

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