一个比较简单的证明题

highflybird · 发表于 2021-8-30 08:30:47

如图：在等腰直角三角形ABC,D,E,F分别在三边上，且CE=AD，AF⊥DE.
求证：AF=DE.
贴贴你们的好方法。方法不限。

bluelover · 发表于 2021-8-30 08:53:20

本帖最后由 bluelover 于 2021-8-30 09:08 编辑

作FG垂直AB于G

mahuan1279 · 发表于 2021-8-30 14:20:38

坐标法。以BC的中点O为原点建立直角坐标系，A（0,a）,B(-a,0),C(a,0),设E（a-x,x）,D(-x,a-x),所以ED^2=a^2+(2x-a)^2,AF的斜率为a/(a-2x),所以F点坐标为（2x-a,0）,所以AF^2=a^2+(2x-a)^2=ED^2,故AF=ED

highflybir · 发表于 2021-8-30 14:41:43

如果这个问题延伸一下，可能就比较难了：

1）其逆命题：

如前述图：等腰直角三角形中ABC，满足AF垂直于DE ,且AF=DE
试证明： AD=CE。

2）目前我没证明出来，但感觉应该是成立的：

在等腰三角形ABC中，只有对于等腰直角三角形，1楼所说性质才成立。
否则当满足CE=AD且AF垂直DE时候， AF不等于DE 。

估计如果这个成立，证明应该很困难。

bluelover · 发表于 2021-8-30 15:23:23

坐标法很赞

mahuan1279 · 发表于 2021-8-30 19:30:41

过E作GE//BC交AB于G，过G作GF'垂直于AB交BC于F'，连接AF'，显然GF'=BG=CE=AD，AG=AE，所以直角三角形AGF'全等于直角三角形EAD，所以AF'=DE，角GAF'=角AED，所以AF'垂直DE，即F和F'共点。所以AF=DE

urings · 发表于 2021-9-1 10:46:21

本帖最后由 urings 于 2021-9-1 11:38 编辑

这种方法可以逆向证明AD=CE
两张图片是一样的，不知怎么删除一张

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[越飞越高] 一个比较简单的证明题

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