求作一圆，交两定直线及一定圆成定角

chenmik

题图如下：

qjchen

chenmik 发表于 2021-9-26 19:21
多谢版主。其实版主上面所说的题目我都有琢磨过。我称之为阿波罗尼斯问题的一般形式（就是点、线、圆三个 ...

之前只是学习了一下阿波罗尼斯圆，因为对反演学得不太好，对交角问题也一直没有仔细研究过。

谢谢楼主提出这好问题，于是进行了一些学习，得到以下一些资料。

通过某书（书的来源是：几何作图与几何变换，作者刘凤璞编，出版时间1960.02，P45）知道了，这个问题是叫 斯坦纳交圆问题。也有相应的三维交球问题。

但是 这个 斯坦纳交圆问题 在国内文献中的资料并不多。所以，后续找到了斯坦纳的这篇原文（发表在Crelles Journal，第一期，同期他共发表了5篇论文，还有阿贝尔的7篇论文，阿贝尔，就是那个著名的求解高次方程的数学家），还有之后一位美国将军本杰明对此的解法，见后。

几何作图与几何变换 的这几页说明如下。






1826年第一期的Crelles Journal下载地址如下，有时候还是挺佩服外国人的这些资料，还是做得非常全的
https://www.degruyter.com/journal/key/crll/1826/1/html

在这篇文章中：Einige geometrische Betrachtungen.（一些几何学上的考虑）中，斯坦纳提到了这个问题：（看不懂德语，只好借助翻译软件大致翻译下）

Für die Versicherung, dafs der Verfasser Dasjenige, was die Franzosen in dieser Hinsicht gethan, vorher nicht gekannt habe, hofft er, werden nicht allein diejenigen seiner Bekannten, welche, bei täglichem Umgange mit ihm, die Entstehung und Entwickelung seiner Arbeiten beobachteten，sondern dem Sachkenner wird auch schon die umfassendere, allgemeinere Entwicklungsweise in den Untersuchungen, aus welcher nicht nur alle jene Betrachtungen, sondern auch eine grofse Menge neuer Resultate von selbst hervorgehen, ein Zeugnifs ablegen. So hat er z. B. die Untersuchungen über Kreise und Kugeln auf die Weise verallgemeinert, dafs die Winkel, unter welchen dieselben sieh schneiden, betrachtet werden, so dafs die Berührung nur als ein spezieller Fall des Schneidens anzusehen ist, nemlich der, wo der Sdhneidungswinkel=0 oder =180° ist. Und Ewar löset er durchHülfe der in den nachstehenden Paragraphen (I. II. III) entwickelten Lehrsätze nicht allein alle die verschiedenen (Apollonischen) Aufgaben über Berührung der Kreise und der graden Linien etc., sondern nodh weit mehr Aufgaben über das Schneiden der Kreise; wie z.B. folgende:
“Einen Kreis zu beschreiben, welcher drei der Grofse und Lage nach gegebene Kreise K1, K2, K3 respective unter den gegebenen Winkeln α1, α2，α3 schneidet.”
„Einen Kreis zu beschreiben, welcher vier, der Gröfse und Lage nach gegebene Kreise unter einerlei Winkel schneidet." U. s. w.
Und zwar werden alle diese Aufgaben ebensowohl bei Kreisen, die in einerlei Ebene, als bei Kreisen, die in einerlei Kugelfläche liegen, gelöset. Ferner werden analoge Aufgaben bei Kugeln im Räume gelöset, als z. B.:
„ Eine Kugel zu beschreiben, welche vier, der Gröfse und Lage nach gegebene Kugeln K1, K2, K3, K4 respective unter den gegebenen Winkeln α1, α2，α3 ，α4 schneidet.”
„Eine Kugel zu beschreiben, welche fünf der Gröfse und Lage nach gegebene Kugeln unter einerlei Winkel schneidet." U. s. w.
Nach dem frühern Plane des Verfassers sollten seine geometrischen Untersuchungen ein zusammenhängendes Werk ausmachen; allein bei der Ausarbeitung fand sich, dafs es zu ausgedehnt werden würde; andererseits war es ihm bis jetzt noch nicht möglich, seinen Untersuchungen ein bestimmtes Ziel zu setzen, weil sich dieselben noch täglich erweitern und auf neue Gegenstände anwenden lassen, so dafs bestimmte Schranken der freien Entwickelung des Gegenstandes nur nachtheilig sein würden. Der Verfasser wird daher erst einen Theil davon, .welcher
„Das Schneiden (mit Einschlufs der Berührung) der Kreise in der Ebene,
das Scheiden der Kugeln im Räume, und das Schneiden der Kreise auf der Kugelfläche"
enthalten soll, welche Untersuchungen schon vor zwei Jahren beendet waren, und deren Ausarbeitung zum Drucke gegenwärtig beinahe vollendet ist, in einem Bande von etwa 25 bis 30 Bogen, herausgeben, und wenn dieser erste Theil einige  Theilnähme findet, die übrigen Untersuchungen nachfolgen lassen.

DEEPL.COM的翻译如下（不太通顺，大致能看懂，他是为了说明他的原创性，并不是抄袭Poncelet等）
【为了保证作者事先不知道法国人在这方面做了什么，他希望不仅那些在日常交往中观察到他的工作的起源和发展的熟人，而且在调查中更全面、更普遍的发展模式，不仅是所有这些考虑，而且大量的新结果也是自己产生的，都能为专家作证。因此，例如，他把对圆和球的研究概括为这样一种方式，即考虑它们相交的角度，所以接触只被视为相交的一种特殊情况，即相交角=0或=180°的情况。通过下面几段（I.II.III）中提出的定理，他不仅解决了所有关于圆和直线接触的各种（阿波罗式）问题，而且还解决了许多关于圆的切割的问题，例如以下问题。
"描述一个与三个圆K1，K2，K3分别以给定的角度α1，α2，α3相交的圆，根据大小和位置。"
"描述一个与给定大小和位置的四个圆以相同角度相交的圆。以此类推。
所有这些任务都是针对位于同一平面的圆和位于同一球面的圆而解决的。此外，对于空间中的球体，也有类似的任务要解决，如：。
"描述一个与四个球体K1，K2，K3，K4分别相交的球体，给定大小和位置，给定角度α1，α2，α3 ，α4。"
"描述一个与五个大小和位置相同的球体相交的球体。" 等等。
根据作者早先的计划，他的几何学研究要形成一部连贯的作品；但在阐述的过程中发现，它将过于扩展；另一方面，他还不可能为他的研究设定一个明确的目标，因为它们仍然可以每天扩展并应用于新的对象，因此，明确的限制只会不利于该学科的自由发展。因此，作者将只包括其中的一部分，也就是
"平面内各圆的交点（包括接触）。
空间中球体的切割，以及球面上圆的切割"。
如果这第一部分被接受，那么其他的研究也将随之进行。
】

在查找这篇文献的过程中，发现了以下1882年的这篇论文，仔细查了一下，作者还真是一名美国将军，居然还同时也是个数学高手。
The Intersection of Circles and the Intersection  of Spheres.  BY BENJAMIN ALVORD, Brig. Gen. U. S. A.

里面比较详细地介绍了斯坦纳圆的解法，时间有限，暂时没有能很仔细地看完，只能有空再学习了。

关于Steiner（斯坦纳），我当时是大学时在学习德H.德里《100个著名初等数学问题—历史和解》时知道的，里面有许多问题和他有关，反演等都是他率先研究的。有空可以再补充一些关于他的资料。

摘自《世界著名数学家传记》之施泰纳（名字不同人翻译不同）篇：

在柏林期间，施泰纳同 N．H．阿贝尔(Abel)，A．L．克雷尔(Crelle)和雅可比友好，他们共同把一种有生气的新潮流注入数学中去．他们的努力得到了由克雷尔所创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diereine und angewandte Mathematik)很大的帮助，它后来成为一本著名的杂志，又称克雷尔的杂志．它的第一卷于 1826 年出版．施泰纳在第一卷上发表了他的一篇重要著作“若干几何考察”(Einige geometrische Betrachtungen)和受佩斯塔洛齐的启发而写成的文章“关于平面和空间分割的若干法则”(Einige Gesetze über die Teilung der Ebene und des Raumes)．从此以后，施泰纳在克雷尔的杂志上发表了大量的论文．他还有许多文章发表在 J．D．热尔岗纳(Gergonne)创办的《数学年刊》(Annales de Maghématiques)上．此外，他在 1832 年和 1833 年连续出版了两本著名的书，后面将详细介绍．

附件中附上这两篇文献，有兴趣的朋友可以下载。

highflybird

在我看来，楼主的题目步骤可以分成三级：
1、初级难度： 画与两条直线成给定角度的圆心轨迹（是一条直线），设圆已经作出，找到给定的两条直线与圆的交点和圆的切线，
然后问题就转为画一个圆与两条直线相切，并且和一给定圆相交成给定角度。
2、中级难度：如果与给定圆相交角度不成90度，把给定圆和两条相切线偏移一定距离，问题就转为作一圆与两条直线相切，且与一圆正交。
3、高级难度：作一圆与两条直线相切，且与一给定圆正交，我觉得可能需要用到反演，把给定圆反演成直线，直线反演成圆，问题变成与两个圆相切，且中心在一直线上的圆，然后再作一下转化，把问题变成过一点，与一圆相切，圆心在直线上，问题变成作过两点和切一圆的圆。最后反演回去。

希望看到楼主和其他高人简洁做法。

highflybird

chenmik 发表于 2021-9-26 19:21
多谢版主。其实版主上面所说的题目我都有琢磨过。我称之为阿波罗尼斯问题的一般形式（就是点、线、圆三个 ...

关于你上面的问题，可以有部分确定是可以有解的。
如果它们三个已知条件中，只要有相交的，就以交点为圆心，任意半径为圆，
以此圆把三个已知的条件反演成两条直线和一个圆（也可能能是三条直线，那就是它们相交于一点），依据反演的保角性，所以 三个已知的的反演也与所求的反演 角度相等。现在已经有了二直线一圆的解法，按照6#方法，求出此圆后反演回去即得到解。
剩下的只是求三个已知条件都不相交的情况。
另外从解方程来看，的确是可以尺规作图的，因为解的最高次数是2次。

chenmik

这个问题可以看成是阿波罗尼斯问题中线线圆问题的一般形式。因为圆与直线相切即相交成90度，圆与圆相切即相交成180度。（内切的话为零度）

qjchen

前几天算了这两步，用余弦定理解下，是尺规可解的

但没能找到比较好的作图法的，先发下：）最底下一图是准备删去的，但发现无法删去，请忽略

楼主题目挺好的

chenmik

highflybird 发表于 2021-9-26 10:41
在我看来，楼主的题目步骤可以分成三级：
1、初级难度： 画与两条直线成给定角度的圆心轨迹（是一条直线） ...

版主过奖了。我其实没啥水平，只是单纯喜欢尺规作图而已。

chenmik

highflybird

楼主的方法简洁！赞！果然是我想多了

qjchen

这个F点很好，我想到了旋转，不过是投影到AB上，轨迹变成动点，就无法弄出阿氏圆了。

chenmik

highflybird 发表于 2021-9-26 14:50
楼主的方法简洁！赞！果然是我想多了

多谢版主。其实版主上面所说的题目我都有琢磨过。我称之为阿波罗尼斯问题的一般形式（就是点、线、圆三个元素的各种组合，相切即相交成特殊角）。个人觉得下面这两题才是终极难题：
1、求作一圆，交两定圆和一定直线成定角。
2、求作一圆，交三定圆成定角。