一元五次方程及更高次方程讨论此处跟帖！以后不再开新主题，否则一律删除！

highflybird

为了便于论坛管理和方便阅读，避免重复发帖及浪费论坛资源，此主题为专门讨论一元五次方程及更高次方程问题。
以后关于这方面的话题，如若再开新主题，将一律删除。屡教不改者将被禁言！！！
当然，你也可以在你以前的帖子中继续讨论。
但所有讨论，均须遵守版规，以科学和事实为据，不得以不文明言语攻击和谩骂他人！
一、陈述：
首先，这里所说的五次方程指的是一般的一元五次方程，即形如 的方程 (a≠0，f≠0)它的解可以用有限次各个系数的加减乘除以及开整数次方根来表示。下面是说明：
1、这里说的”一般“指的的是除去一些特定类型的有根式解的--有点废话。系数可以是整数，有理数，还可以为实数（复数不在讨论范围）。
2、解的表达式必须是精确的，也就是无论你计算到多少位，代入原方程，结果就是0。
3、加减乘除以及开整数次方根必须是有限次的，你给我整个无穷级数的表达，或者来个极限值的表达，逗我玩呢！
如果你对此说明有异议或者认为我的表述是错误的，请以现代数学书中表述为准。

二、否定风花飘飘的说法
好，下面的重头戏来了。
本论坛的风花飘飘多次发帖，说他已经找到了求解一元五次方程的根式解的方法，地址我不一一贴上来了，以下面的
解一元五次方程的一个通用方法，但是有条件
【炸人方程】费时十年多解出一个伽罗华方程……
这个给不出根式表达式？实在是笑话。
这三个里面的提到的我来展开讨论：

他声称找到了伽罗华方程  x^5-5*x-2=0的根式解。 但同时，他也觉得不太完美，因为他自己说”小数点后万亿位出现了差别”,可能他自己也觉得某个地方有什么问题，他却视而不见，将之归结为计算精度的问题。然而，这个恰恰是致命地方。他说的“小数点后万亿位”更准确的说法，应该是小数点后11位数字是准确的，然而11位有效数字并不是准确解：
他的这个解不是精确解，而是近似解！！！
他的这个解不是精确解，而是近似解！！！
他的这个解不是精确解，而是近似解！！！
首先，他提出一个根式解，并附上了word表达式，我特意代入了Maple 进行计算，把Maple 精度设置为20位，发现果然不精确。
他的解表达式是：-(-1 + 1/(2*sqrt(30/(-40 + (1295852975 - 15*sqrt(7227689318907585))^(1/3) + (5*(259170595 + 3*sqrt(7227689318907585)))^(1/3)))) - 1/2*sqrt(-8/3 - 1/30*(1295852975 - 15*sqrt(7227689318907585))^(1/3) - (259170595 + 3*sqrt(7227689318907585))^(1/3)/(6*5^(2/3)) + 625*sqrt(30/(-40 + (1295852975 - 15*sqrt(7227689318907585))^(1/3) + (5*(259170595 + 3*sqrt(7227689318907585)))^(1/3)))))^(1/5)  
这个表达式确实是有限次的加减乘除和根式的表达，满足前面的描述，
把他的解用软件计算精确到小数点后30位是： -0.402102389928894805200699542948...
而用Maple解方程得到的数值解精确到30位后是：-0.402102389929217472006029101134...
明眼人一眼就看出来了，小数点后12位数字就不同了，哪个是对的呢？
最好代入x^5-5*x-2计算:
代入他的：subs(x = -0.402102389928894805200699542948, x^5 - 5*x - 2) : evalf(%)
得到：-1.57115749033474120*10^(-12) 。
说实在话，结果很精确，几乎为0，但不是0，对于现代计算来说，还没达到双精度的有效位呢。
代入maple计算的：
subs(x = -0.402102389929217472006029101134, x^5 - 5*x - 2)
结果呢，就是0，满足精度要求.

当然你也可以提高Maple 的精度，譬如设置100，甚至小数点后一万位的精度，其实这已经没必要了。
你可能说，Maple计算不准确啊，那好吧，你放到Mathematica、matlab去计算，精度设置到20，或者30，看看会不会得到相同结果。
呵呵，数学界的三大软件你都说不准确，那你飞上天了啊...
我甚至都还做了一下测试，代入到我自己写的LISP程序计算，
把风花飘飘所谓的根式解求值结果：-0.4021023899288871 ，LISP计算的最大精度也就是20位，但是也可以看出Maple计算结果没错。
所以我可以理直气壮地否定风花飘飘：
这个【根式】不是【x^5-5x-2=0】的根！！！这个就是个近似值。
哪怕你以后真的找到了根式解（我相信不能），也不能否定上面的说法。
你能说355/113就是Pi的根式表达么？不能。
哪怕你找到了一个根式表达，能精确计算到Pi到小数点后面一万亿位，也不能说这个就是Pi的根式表达。
因为不存在有限次的根式表达等于Pi.道理都是一样的。
三、其它一元五次方程
另外，我同时也提了一个方程，要他解，他说多少年前别人就提了这个方程，以下是他自己说的：

《科学网》的br0618就是本人，当时解的方程就是x^5-4x+2=0（注：当时解的根式结果是错的。目前可秒杀！）

根据他的说法，这个方程他也应该解了十多年了吧，当时算错了，现在应该对了吧？为何还没有结果?
Show me!
他甚至要说一两个简单的就能说明问题，那好，比这个还简单的来了：
请你求解：x^5-x+1=0
附加几句话，一个特例方程可能仅仅是代表一个特例，一个特定类型的也就是一个特定类型的，不能推广到整个类型。整系数的代表不了有理系数的，有理系数的更代表不了实数系数的。
你要证明对一般方程都有根式解，你必须证明这个一般性。否则你就不要推翻这个定论。

四、共根
他出了一道题目，然后说：

各位看好：把y = 5*x + 2代入他的：y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0再化简就得到：x^5 - 5*x - 2=0；
同样把x = (y - 2)/5代入：x^5 - 5*x - 2=0再化简就得到：y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0。
这个就是简单的加减乘除，这个对解方程有帮助吗？然后他弄了个“共根”，依他的意思，就是这两个方程有共同的解。
这不就是一个对解的线性变换吗?我觉得这个词语实在不专业，反正我没在数学辞典上查找到，也许是我太孤陋寡闻了吧。各位有知道的请告诉我一下，多谢了！

五、四消元法
我仔细看了一下他的四消元法，还是没搞懂，其中有些步骤不明朗，所以这里我不讨论，也许这个方法出自于朱世杰的四元术吧，但朱世杰的四元术能得到一般一元五次方程的根式解？我不信！
六、参考
关于对一般一元五次方程为何没有根式解，读者不妨参考如下的文章：
整理：一元五次方程没有代数解（根式解），有椭圆函数解、数值解
五次方程为什么没有求根公式(1)
无法“解”出的方程——论一般五次方程没有求根公式
为何从一元五次方程开始就没有由有限次加、减、乘、除、开方运算构成的求根公式了？
如何证明五次及以上方程无根式解？
此处我不解读，我没那么高的水平。
七、数值解和精确解
随着人们对方程的认识不断提高，越来越认识到，寻求数值解往往比寻求精确解的重要性要大得多。
因为一些精确解落到实际应用中，也得先把表达式转化为数值；其次，寻求精确解大多数情况下很难很难，有些就是根本不可能；再次，大多数精确解表达式和步骤无比复杂，如果用计算机来计算，往往是求数值解的效率高于精确解的效率。
当然，求精确解无疑会丰富数学理论，但请千万不要以精确解为至上，而轻视数值解，这是不对的。
还是以方程x^5-5*x-2=0为例，我来展示一下用lisp数值求解有多简洁：

1. (setq x 0.5);先初始化x
   
2. (repeat 10  (setq x (- x (/ (- (* x x x x x) (* 5 x) 2) (- (* 5 x x x x) 5)))))

(setq x 0.5);先初始化x<br /> (repeat 10  (setq x (- x (/ (- (* x x x x x) (* 5 x) 2) (- (* 5 x x x x) 5)))))

就这样，两行代码就得到了这个解得20位精度的近似值:

(rtos x 2 20)
"-0.4021023899292174"

再次印证了风花飘飘的解只是一个近似解，而不是根式解。
实际上用不了10次迭代，只需要用到4到5次就可以了。
八、其它
说实在话，我对风花飘飘并无敌意，也佩服他十多年利用业余时间只为研究一个方程。这样的毅力还是常人难及。
但是科学就是科学，尤其是数学的是一门极为严密的科学，它的基础历经几千年的夯实，极为稳固。
你可以怀疑物理学的定律，可以推翻化学生物实验得到的结果，但对数学来说，数学的定理结论，历经了多少年、多少个数学家的检验！一个普通人的说他可以推翻某个定理，那几乎可以断定他是错的。不服，你可以写论文，发到正规刊物，如果得到数学家的承认，你将收获无上的荣耀。所以，你完全没必要把精力放在把你的成果发在我们的论坛上，耽误你的时间和精力，实在不划算。
另外，我无意做什么赌局，不与风花飘飘赌上人生中比这珍贵得多的东西。如果他以后的的确确找到了，我大大方方承认就是了。
说实在话，当我看到他的帖子的时候，我也曾一度对群论产生了怀疑，但现在我释然了。还有我的数学水平也有限得很，仅仅是高中毕业生的样子，虽然大学学过一点高数，但懂得还是太少，所以本贴里有任何不对之处，请大家指教改正。
还有：风花飘飘，你是不是欠了别人一声道歉？！
再次重申：不要违反本论坛版规，不要重复发帖！！！

cq_qg

风花飘飘 发表于 2022-7-24 13:11
问题：

一个代数解如果通不过数值验算，那它就是错误的。

我认为这个说法是对的，如果一个代数解代入原方程不能精确满足的话，那就不是代数解。
代数解应该就是精确解，在无法求得精确解时求在满足科学或工程精度需要的数值解是一种近似方法，有时候也是迫不得已的方法，有时候也是必要的。

zixuan203344

看了全部的楼层，想说一下：
数学书的解析解，那是有严格定义的，要能经得起完整过程推敲，并且解出来的结果代入进去，要严丝合缝。如果不能满足，那就不能叫解析解，不要在名字上碰瓷，没意义，也不会被数学界承认。近似解是近似解，解析解是解析解，各有各的叫法，各有各的用途。

1. 如果是叫解析解，那就要遵循严格的数学推导过程，比如符号从右边移到左边，在严格推理过程中就是要加上负号，如果这一步经不起推敲，那很抱歉，后面你不用看了，这个过程就是错的，这点没啥可争的。

2. 解析解就是解析解，解析解的结果，代入原算式，不管多少位小数，都要保证左右完全相等。

3. 如果达不到2里面在任意位上，左右完全相当，即便数值精度很高(即便10W位)，那就也只能叫近似解。

4. 近似解也可以有近似解的计算方法和过程，但是如果结果不满足2，那就不能叫解析解，没必要非得牵强附会说自己就是解析解，还是那句话，碰瓷名字没意义，除非你让数学界改变解析解的定义。

5. 武松打虎出名了，别人就羡慕他的名气，有个人说他也能打虎，并且一次能打100个，他说自己也叫打虎武松，但实际上那他不是武松，真正的打虎的武松只有一个：人们公认定义的那一个，

6. 何必非得说是打虎武松？何必非得是武松打虎？鲁智深打虎如果能打出名头，那一样会家喻户晓，众所周知。

shujh1989

还有人讨论这个。这不是百度就知道的事吗，下面来自百度。“一元n次方程(equation of degree n with one unknown)是一元n次多项式所确定的方程，指方程a0xn+a1xn-1+…+an=0 (a0≠0)，当n≥3时，称为高次方程.研究一元n次方程的根，包括根的存在、根式解、根的界和根的个数等，曾经是代数学的中心问题，一元n次方程的系数和有理常数以及对这些数进行加、减、乘、除和开整数次方的符号组成的式子，称为方程的根式，根式解就是求将代数方程的根用方程系数的根式表达出来，n次方程的根式解，亦称为代数解法，三次方程与四次方程的根式解于16世纪由意大利数学家给出，此后自然地开始寻求五次以及五次以上代数方程的根式解，这种尝试一直继续近三个世纪，经过莱布尼茨(G.W.Leibniz)、范德蒙德(A.-T.Vandermonde)、拉格朗日(J.-L.Lagrange)、鲁菲尼(P.Ruffini，)等人的艰辛努力，直到19世纪才由阿贝尔(N.H.Abel，)解决，他证明了一般的n (n≥5)次方程不能用根式解，不久伽罗瓦(E.Galois，)用群论方法得出了方程可用根式解的充分必要条件 [1]  。”

风花飘飘

一，不理解，图片中这两个的数值难道不应该相等么？
二，完全相等的两个根式，只是改变了一下模样，为什么数值计算结果就大不同？
三，用“有理数3.14……”可以否定“真实的无理数π”么？也就是用数值否定根式？
不打算发数值计算贴了，留着时间整理代数公式……（x^5+px+q=0型）


呵呵，用自己解出来的数值，反过头来返回去验算，这逻辑。

最好是有“纯粹的符号计算”来验证才可靠吧？

highflybird

把你所谓的根式解代入x^5-5*x-2去验算吧！

验算！
验算！！
验算！！！

highflybird

我知道风花飘飘的疑惑的根源了，请看下图：


请大家看看，方程1和方程3同解么？同解么？？同解么？？
（这个地方有一点要解释的是：在maple在解方程时候，输入一个多项式，默认为求多项式等于0的方程）
虽然它们的其中一个解 前13位数值都是一样的，但后面的就完全不一样了啊！你再提高精度又有何用？
风花飘飘弄了这么多年，难道就没留意到他自己犯了这么大的错误吗？
正负号都弄反了!得到的方程能同解么？
能使得解的前十多位数字一模一样，也只能解释算是运气了！

风花飘飘

各位看好：把y = 5*x + 2代入他的：y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0再化简就得到：x^5 - 5*x - 2=0；
同样把x = (y - 2)/5代入：x^5 - 5*x - 2=0再化简就得到：y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0。

您一定不承认y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0是可以“根式解”的吧？
但是，我已经把它“根式解”了，请细品……

风花飘飘

{y^5-10*y^4+40*y^3-80*y^2-3045*y-32=0,y=x^5}
与


{y^5-10*y^4+40*y^3-80*y^2-3045*y-32=0,y=5*x+2}

是不是同解方程？

highflybird

to 风花飘飘：
不管对于方程： x^5-5*x-2=0,还是y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0
我都否定有根式解！也证明了你的那个根式解不对！如果你连基本的验算都不承认，我们在这里还有讨论的必要吗？
在你拿出正确解之前，我停止与你讨论。

tigcat

论坛是cad技术开发交流论坛,以cad方面的交流为主；数学作为基础科学,涉及各行各业，鉴于此论坛也专门为几何算法开了子版块，大家可以在子版块来交流。这次关于方程组解的讨论其实远超于实际应用，纯作为一种数学探讨。风花飘飘大侠提出这些问题作为探讨是好的，但说实话，上这论坛的以工程师居多，我想大部分的数学知识停留在大学阶段，数学系的少之又少，作为爱好者，能达到高飞版主这种程度的少之又少，这次高飞版主对于风花飘飘大侠方程解的回复有理有据，运用现代数学软件进行验算还是快捷准确的。上次风花飘飘大侠在“一瞪眼就解出方程”帖子说我是不是版主小弟，在此解释下：高飞版主在论坛“飞鸟集”系列中给出了一系列的数学与lisp结合的帖子，给我们日常的工作中提供了巨大的帮助，真正做到了理论联系实际，他愿意无私分享出来，不计报酬，所以我对他由衷钦佩。
希望大家文明理性,论坛因大家而精彩!

风花飘飘

风花飘飘

y^5 - 10*y^4 + 40*y^3 - 80*y^2 - 3045*y - 32=0能不能根式解？这个是关键!!!  
我能！别人能否我不知道！
就这样子。

它的一个根式解是：(m^(1/5)-2)/5，不信请验算啊！



代数字母（如：m）正确，把m 替换成一个具体数值就不正确，谁信啊？……