大矩形内接小矩形，已知小矩形一条边长，求另一条边长。

飞的鱼儿

大矩形高宽已知，其内部有一斜置的内接小矩形，小矩形的一条边长已知，求另一边长。（以上条件都确定时，小矩形应该只存在唯一的放置位置。）

这很久之前遇到的一个问题，当时觉得挺难，所以没去苛求数学方法。是用的LISP，做的近似求解。不知道社区里有没有师傅有兴趣数学解一下这个问题。

Source_Liu

接上图，要求的边长长度A，可以通过大矩形减4个三角新面积计算，即：A*B=W*H-三角形1的面积*2-三角形2的面积*2 --> A*B=W*H-x1*y1/2*2-(W-x1)*(H-y1)*/2*2--> A=(W*y1+H*x1-2*x1*y1)/B
上面公式有2个变量 x1、y1 需要代入，依靠下面2公式计算

1：三角形1的是直角三角形：B*B=x1*x1+y1*y1;
2:三角形1、2成比例：y1/x1=(W-x1)/(H-y1)

highflybird

这个是lisp求解示例代码：
这个解是精确解，不是迭代法。

1. (defun c:test (/ A B C D H HP L M N P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 S W X Y)
   
2.   (initget 9)
   
3.   (setq W (getdist "\n宽:"))
   
4.   (initget 9)
   
5.   (setq H (getdist "\n高:"))
   
6.   (initget 9)
   
7.   (setq L (getdist "\n边:"))
   
8.   (setq m (/ W L))
   
9.   (setq n (/ H L))
   
10.   (setq A (* -4 n))
    
11.   (setq B (+ (* n n) (* m m) -4))
    
12.   (setq C (+ n n))
    
13.   (setq D (- 1 (* m m)))
    
14. 
    
15.   (setq S nil)
    
16.   (foreach n (Math:quartic_Equation 4 A B C D)
    
17.     (setq x (car n))
    
18.     (setq y (cadr n))
    
19.     (if  (and (equal y 0 1e-6) (> x 0))
    
20.       (setq s (cons (* x L) s))
    
21.     )
    
22.   )
    
23.   (princ "\n解是:")
    
24.   (princ s)
    
25.   (initget 9)
    
26.   (setq HP (* 0.5 pi))
    
27.   (setq p0 (getpoint "\n插入点:"))
    
28.   (setq p1 (polar p0 pi W))
    
29.   (setq p2 (polar p0 HP H))
    
30.   (setq p3 (polar p2 pi W))
    
31.   (Ent:Make_LWPoly (list p0 p1 p3 p2) T)
    
32.   (foreach x S
    
33.     (setq y (sqrt (- (* L L) (* x x))))
    
34.     (setq p4 (polar p0 HP x))
    
35.     (setq p5 (polar p0 pi y))
    
36.     (setq p6 (polar p3 HP (- x)))
    
37.     (setq p7 (polar p3 0 y))
    
38.     (Ent:Make_LWPoly (list p4 p5 p6 p7) T)
    
39.   )
    
40.   (princ)
    
41. )
    
42. 
    
43. (defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /)
    
44.   (entmakeX                                             
    
45.     (vl-list*
    
46.       '(0 . "LWPOLYLINE")
    
47.       '(100 . "AcDbEntity")
    
48.       '(100 . "AcDbPolyline")
    
49.       (cons 90 (length pts))                                        ;顶点个数
    
50.       (cons 70 (if closed 1 0))                                        ;闭合的
    
51.       (mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts)          ;多段线顶点
    
52.     )
    
53.   )
    
54. )
    
55. 
    

(defun c:test (/ A B C D H HP L M N P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 S W X Y)<br />   (initget 9)<br />   (setq W (getdist "\n宽:"))<br />   (initget 9)<br />   (setq H (getdist "\n高:"))<br />   (initget 9)<br />   (setq L (getdist "\n边:"))<br />   (setq m (/ W L))<br />   (setq n (/ H L))<br />   (setq A (* -4 n))<br />   (setq B (+ (* n n) (* m m) -4))<br />   (setq C (+ n n))<br />   (setq D (- 1 (* m m)))<br /> <br />   (setq S nil)<br />   (foreach n (Math:quartic_Equation 4 A B C D)<br />     (setq x (car n))<br />     (setq y (cadr n))<br />     (if  (and (equal y 0 1e-6) (> x 0))<br />       (setq s (cons (* x L) s))<br />     )<br />   )<br />   (princ "\n解是:")<br />   (princ s)<br />   (initget 9)<br />   (setq HP (* 0.5 pi))<br />   (setq p0 (getpoint "\n插入点:"))<br />   (setq p1 (polar p0 pi W))<br />   (setq p2 (polar p0 HP H))<br />   (setq p3 (polar p2 pi W))<br />   (Ent:Make_LWPoly (list p0 p1 p3 p2) T)<br />   (foreach x S<br />     (setq y (sqrt (- (* L L) (* x x))))<br />     (setq p4 (polar p0 HP x))<br />     (setq p5 (polar p0 pi y))<br />     (setq p6 (polar p3 HP (- x)))<br />     (setq p7 (polar p3 0 y))<br />     (Ent:Make_LWPoly (list p4 p5 p6 p7) T)<br />   )<br />   (princ)<br /> )<br /> <br /> (defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /)<br />   (entmakeX                                              <br />     (vl-list* <br />       '(0 . "LWPOLYLINE")<br />       '(100 . "AcDbEntity")<br />       '(100 . "AcDbPolyline")<br />       (cons 90 (length pts))                                        ;顶点个数<br />       (cons 70 (if closed 1 0))                                        ;闭合的<br />       (mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts)          ;多段线顶点<br />     )<br />   )<br /> )<br /> <br />

ssyfeng

如果只是知道小矩形一条边的长度，而不是一条边的具体坐标，应该不是唯一解吧

vitalgg

特殊情况下有解

飞的鱼儿

ssyfeng 发表于 2022-9-23 11:12
如果只是知道小矩形一条边的长度，而不是一条边的具体坐标，应该不是唯一解吧

是唯一解，可以理解为一个方形盒子内放一个宽度确定的木条，最长可以放多长。

liuhe

11111111111111111111

liuhe

四个方程，三个未知数，会解方程就行
X12/+Y12/=B2/
X22/+Y22/=L2/
X1+X2=W
Y1+Y2=H
arctan(Y2/X2)+arctan(Y1/X1)=90

最后一个方程最重要，隐藏的J1+J2=90

飞的鱼儿

哦，是啊，最后一个是关键。看起来是这样，我下午来验证
一下。

highflybird

这个最后的解是一元四次方程，所以无法通过作图法实现。这个题目应该和晓东多年前的作图题类似，就是筷子放入杯子的问题。

mahuan1279

解四次方程。

飞的鱼儿

highflybird 发表于 2022-9-23 15:34
这个最后的解是一元四次方程，所以无法通过作图法实现。这个题目应该和晓东多年前的作图题类似，就是筷子放 ...

是的，当年我好象是就是做到一元四次方程，解不出来了。:Q，其实这也是来自一个应用实例，就是在一定的矩形空间里放置，某种宽度的型材。需要先算出型材长度，截取下料。