在三角形角平分线上求作两对称点

chenmik

如图所示：

qjchen

谢谢楼主的好题。

自从算出了尺规解后，也一直没有去寻找出几何做法。刚好周末有空，仔细查查资料，搜搜以前的题型，总算做出来。估计和chenjun兄的原理是类似的。

才发现以前其实大概也做过：http://bbs.mjtd.com/forum.php?mo ... 3755&fromuid=250774

其中图1为问题等价，图2为解法，图3为mahuan1279兄的问题解法。






做圆弧角的做法如下：感觉我的做法是比较笨的，不知道有没有快些的方法。


此类已知一角，和角内或者角外一点，求做射线，满足条件的问题有好些，都是颇难的。

问题1：本题的升级版本 ：几何作图题50--过点切角，线段长度成比例，难度系数 4.5, watt5151已解
http://bbs.mjtd.com/thread-64377-1-1.html
本题的基本等价版本 ：几何作图题69-过三角形ABC外一点D，作射线DEF，使得AE=CF
http://bbs.mjtd.com/thread-70666-1-1.html
问题2：hejoseph的关于角和定点的问题——过点切角，使得线段长度 和、差、积、比 分别为定值，某些难度系数很高，内有来自前人的做法
http://bbs.mjtd.com/thread-65794-1-1.html
http://bbs.mjtd.com/thread-63715-1-1.html
http://bbs.mjtd.com/thread-70947-1-1.html
问题3：几何作图题15——基础题型1，割直线问题：过定点切角，使得角内长度为定长 （第二题有空我再验证下是否有解，也欢迎测试）
http://bbs.mjtd.com/thread-62435-1-1.html
问题4：几何作图题49--严济慈老师的反演题目--角内点绘射线，满足线段乘积要求 （Andyhon兄的解法我尚没全懂，也欢迎解释）
http://bbs.mjtd.com/thread-64351-1-1.html
问题5：几何作图题58--过点做线段，截取角边上的线总长为已知长度 （Watt5151给出过做法，我也尚未全懂，欢迎解释）
http://bbs.mjtd.com/thread-67251-1-1.html
问题6：几何作图题59- 过角平分线上一点做线段，使其为定长 （Pappus问题的简化版本，chenjun兄给出解法）
http://bbs.mjtd.com/thread-68914-1-1.html
问题7: 几何作图题80-过一点做射线，使得构成的三角形两边长度和等于第三边长度两倍 （chenjun和watt5151给出解法）
http://bbs.mjtd.com/thread-71072-1-1.html
问题8：几何作图题81-一线割三线,线段相等 （根据chenjun兄的题目改编）
http://bbs.mjtd.com/thread-71137-1-1.html
问题9：几何作图题87，已知二线一点，求过点做二直线，满足两段线段=已知数值 （似乎还无解答，不过感觉我自己也忘记解法了）
http://bbs.mjtd.com/thread-72419-1-1.html
问题10：几何作图题103-在角上取点，使满足线段长度要求 2题 （chenjun兄已解）
http://bbs.mjtd.com/thread-80869-1-1.html
问题11：几何作图题99-做直线 割三角形 得二已知长度线段 （yimin和chenjun兄已解）
http://bbs.mjtd.com/thread-76364-1-1.html

此类角和过一点的射线问题，经常会涉及到一元二次方程，此时绘制轨迹经常出现圆锥曲线和直线的交点，此时，经常就得找到一个方法，来将圆锥曲线映射为圆，通过圆和直线的交点进行求解，但是似乎没有特别好的定法，若哪位懂了也请告知下。

另外，也想请教下大家，是怎么进行题目的整理和归类和搜索的，经常发现不少题目其实自己以前做过的，但是又找不太出来。几何问题不像其他文字类的，可以进行简单的搜索，也无法用搜图的方法。莫非人工智能可以？

qjchen

mahuan1279 发表于 2023-9-18 20:50
已知∠AOB，OC为角平分线上的一段已知线段，P为一已知点，求过P作一射线交OC于D，交OA于E，满足OCDE四点共 ...

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这题也是圆弧和直线的交点。

过P C 点 ，做弧角CDP=180°-角CDE=180°-角COE的圆，交OD线于D（有两个），即为解

所以感觉OC线可以是不限定在角平分线上，解法是一样的。

highflybird

mahuan1279 发表于 2023-9-15 16:20
已知P为∠MAN内一点，B、C分别为MA、NA上已知点，且P在三角形ABC外，求过P作一射线交BC于D，交AC于E，且满 ...

我给出一个解，抛砖引玉一下。

qjchen

算了一下，有尺规解（一元二次方程），估计有巧妙的简单解法。不过感觉题目中的三角形ABC似乎可以去掉，只留A点，M点及AD和BC的交点。

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mahuan1279

没有好的思路的话，可以以A为原点AE为X轴正方向建系，求出D、E坐标。再根据坐标值考虑作图。
所以可以尺规作图实现。

mahuan1279

根据上述计算结果，给出一个稍显简洁的作法。（备注：图示画的不标准，只为突显作法过程）

yimin0519

硬冲一下：
注：M为BC的中点

chenjun_nj

chenjun_nj

其实就是在BC、AD、MN三条线上作直角△NDL，使斜边NL延长线过A点。
那么所求L点与已知线段的关系就很清楚了。

mahuan1279

chenjun_nj 发表于 2023-9-15 13:22
其实就是在BC、AD、MN三条线上作直角△NDL，使斜边NL延长线过A点。
那么所求L点与已知线段的关系就很清楚 ...

化繁为简，转化后确实简单许多了。

mahuan1279

已知P为∠MAN内一点，B、C分别为MA、NA上已知点，且P在三角形ABC外，求过P作一射线交BC于D，交AC于E，且满足AE=CD。

chenjun_nj

终于摸到门道了。