过一点作直线截已知三角形，使所截三角形与原三角形面积相等

chenmik

不知论坛以前有没有相关的贴子，找了一下没找到。现在主要是第二个问题：可以作多少条这样的直线？没搞清楚。

mahuan1279

如图，已知三角形ABC内一点P，求作过P点的一条直线MN交AB于M，交BC于N，使得MC//AN。
作法：
1、延长AB至C’，使得BC’=BC；
2、过APC’作圆，延长PB交圆于D点；
3、作BD’=BD，且角D’BC=角ABP；
4、过D’作任意直线D’E交BC于E；
5、过BPE作圆交D’E于F；
6、过PD’F作圆交BC于N、N’点，连接PN、PN’的直线即所求。

highflybird

chenmik 发表于 2023-11-13 13:38
其实第二个问题，关于过一点可作几条这样的直线？才是我关注的。下面是我的结论，不知是否正确？有不对的地 ...

楼主的这个结论应该成立，我的作法只是任取一条三角形的边AC，因此，此作图法亦可对边AB，BC成立。
当P点在内部时，有6解。外部情形解的个数 为：6 、3、0?
但现在看起来，在外部时，至少有1个解，不可能无解。

下面是在三角形内部的情况：

mahuan1279

一般情形是两条。P点在三角形内部的情形我做过。

mahuan1279

本质是得到一组平行线，使得BN//MC。

zxc710370969

大佬牛哇 学习了

highflybird

这里贴出一作法，感觉不是很简洁。待改进。

chenjun_nj

延长AB到D，使AB=BD，连CD，本题等同过P点作PM平分△ACD的面积。

highflybird

如果把面积换成周长呢？这个题的解又如何？

chenjun_nj

highflybird 发表于 2023-11-12 14:04
如果把面积换成周长呢？这个题的解又如何？

与旁切圆相切的线，新三角形的周长不变（A与BC边的旁切圆切点距离是三角形的半周长，只要与这个圆相切不改变半周长）

mahuan1279

过一点作直线平分三角形的面积，似曾熟悉。