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[几何作图] 几何作图题108- 圆内两弦,圆上找点使满足条件(2道)

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发表于 2024-7-10 09:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
两道题,看来的,不过自己也试做了,有尺规解。


(1)难度系数4.0/5.0



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tigcat + 1 + 5 陈老师太厉害了!
chenmik + 1 + 20 很给力!

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发表于 2024-7-12 14:42 | 显示全部楼层
mahuan1279 发表于 2024-7-12 09:09
初等几何方法能不能证明?

连FC、FD,将线段比转化为面积比,
S△FCG=FC*FG*sin∠CFG/2
S△FGD=FG*FD*sin∠GFD/2
S△FCH=FC*FH*sin∠CFH/2
S△FHD=FH*FD*sin∠HFD/2
(CG/GD)/(CH/HD)=CG*HD/(GD*CH)
=S△FCG*S△FHD/(S△FGD*S△FCH)
=FC*FG*sin∠CFG/2*FH*FD*sin∠HFD/2/(FG*FD*sin∠GFD/2*FC*FH*sin∠CFH/2)
=sin∠CFG*sin∠HFD/(sin∠GFD*sin∠CFH)
我们知道这四个角都是定值,
∴(CG/GD)/(CH/HD)=定值

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 楼主| 发表于 2024-7-11 08:30 | 显示全部楼层
谢谢参与:)
哎,总觉得第一道应是出过,没有仔细检查,重题了,还重16年前的题,脸红啊,看来这些年都没啥长进。感觉现在也只能保持思考,不至于彻底忘却了。
我的第一题的答案和chenmik兄原理是一样的。
刚才去看了下答案,才发现第二题也有比较简单的做法,比较简单的做法适用于相等的情况。
高飞兄的射影几何很厉害,方程很简洁:)
感觉如两位所说的,题目转换为等比或者圆锥曲线,应该也可以得出解的。
发表于 2024-7-11 10:30 | 显示全部楼层
qjchen 发表于 2024-7-11 08:30
谢谢参与:)
哎,总觉得第一道应是出过,没有仔细检查,重题了,还重16年前的题,脸红啊,看来这些年都没 ...

第二题想到了一个作图法,看到说有简单的方法,那应该是自己的作图法弄复杂了 ,不过还是发上来吧。

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发表于 2024-7-10 16:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 chenmik 于 2024-7-10 16:37 编辑

真巧了!最近也在琢磨这道题呢。第二题可以延伸成一般形式,点E将FG分为定比。
发表于 2024-7-10 20:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 highflybird 于 2024-7-10 21:03 编辑




根据射影定理,列出方程,可以得出这两个题目都是一元二次方程,可以用作图得到解。

顺带说一下,如果把这个题目的圆换成椭圆,用同样的方法可以得到解。
同时也适合抛物线和双曲线。

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发表于 2024-7-10 22:12 | 显示全部楼层
发表于 2024-7-11 13:53 | 显示全部楼层
哈哈,我也发过重复的贴子,时间久了不记得,正常。
很巧,前两天看到一题,可以看作是楼主第二题的特殊情况,关于弦中点的对称。有一个解法很妙,但不知原理为何?想不出来,求证明。





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发表于 2024-7-11 23:00 | 显示全部楼层
highflybird 发表于 2024-7-10 20:59
根据射影定理,列出方程,可以得出这两个题目都是一元二次方程,可以用作图得到解。

顺带说一下, ...

这个射影定理咋证明?
发表于 2024-7-11 23:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 highflybird 于 2024-7-11 23:31 编辑
mahuan1279 发表于 2024-7-11 23:00
这个射影定理咋证明?

https://www.cnblogs.com/OneInDark/p/16896487.html
可参考这个博客写的。但是我没太看懂。

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发表于 2024-7-12 00:11 | 显示全部楼层



这里是一个演示,演示了二次曲线的这个交比不变的性质。注意左下角的a的值,并不随着E点的变化而变化。可见它是一个射影不变量。
它的值只与A、B、C、D的位置有关。
对其它二次曲线也有相同的性质。

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