几何作图题108- 圆内两弦，圆上找点使满足条件（2道）

qjchen

两道题，看来的，不过自己也试做了，有尺规解。


（1）难度系数4.0/5.0



（2）难度系数4.3/5.0

chenjun_nj

mahuan1279 发表于 2024-7-12 09:09
初等几何方法能不能证明？

连FC、FD，将线段比转化为面积比，
S△FCG=FC*FG*sin∠CFG/2
S△FGD=FG*FD*sin∠GFD/2
S△FCH=FC*FH*sin∠CFH/2
S△FHD=FH*FD*sin∠HFD/2
(CG/GD)/(CH/HD)=CG*HD/(GD*CH)
=S△FCG*S△FHD/(S△FGD*S△FCH)
=FC*FG*sin∠CFG/2*FH*FD*sin∠HFD/2/(FG*FD*sin∠GFD/2*FC*FH*sin∠CFH/2)
=sin∠CFG*sin∠HFD/(sin∠GFD*sin∠CFH)
我们知道这四个角都是定值，
∴(CG/GD)/(CH/HD)=定值

qjchen

谢谢参与：）
哎，总觉得第一道应是出过，没有仔细检查，重题了，还重16年前的题，脸红啊，看来这些年都没啥长进。感觉现在也只能保持思考，不至于彻底忘却了。
我的第一题的答案和chenmik兄原理是一样的。
刚才去看了下答案，才发现第二题也有比较简单的做法，比较简单的做法适用于相等的情况。
高飞兄的射影几何很厉害，方程很简洁：）
感觉如两位所说的，题目转换为等比或者圆锥曲线，应该也可以得出解的。

yimin0519

highflybir 发表于 2024-7-17 15:41
主要是在作图的过程中，我发现了这两个轨迹均为圆形，所以得出了作图法：

其一：

28楼用解析几何证明了弧中点之所在，今33楼轨迹圆也只好动用解析几何试试了，左右两圆的代数式方程及34楼的做法（仅做了右支n=a*(b+c)/b，左支m=(a+b)*c/b同理亦可）依据如下：

chenmik

真巧了！最近也在琢磨这道题呢。第二题可以延伸成一般形式，点E将FG分为定比。

highflybird

根据射影定理，列出方程，可以得出这两个题目都是一元二次方程，可以用作图得到解。

顺带说一下，如果把这个题目的圆换成椭圆，用同样的方法可以得到解。
同时也适合抛物线和双曲线。

highflybird

几何作图题88-圆周上找点，使得割弦为已知长度 - 几何算法 - AutoCAD论坛 - 明经CAD社区 - Powered by Discuz! (mjtd.com)

第一题，以前有求过。

highflybird

qjchen 发表于 2024-7-11 08:30
谢谢参与：）
哎，总觉得第一道应是出过，没有仔细检查，重题了，还重16年前的题，脸红啊，看来这些年都没 ...

第二题想到了一个作图法，看到说有简单的方法，那应该是自己的作图法弄复杂了 ，不过还是发上来吧。

chenmik

哈哈，我也发过重复的贴子，时间久了不记得，正常。
很巧，前两天看到一题，可以看作是楼主第二题的特殊情况，关于弦中点的对称。有一个解法很妙，但不知原理为何？想不出来，求证明。

mahuan1279

highflybird 发表于 2024-7-10 20:59
根据射影定理，列出方程，可以得出这两个题目都是一元二次方程，可以用作图得到解。

顺带说一下， ...

这个射影定理咋证明？

highflybird

mahuan1279 发表于 2024-7-11 23:00
这个射影定理咋证明？

https://www.cnblogs.com/OneInDark/p/16896487.html
可参考这个博客写的。但是我没太看懂。

highflybird

这里是一个演示，演示了二次曲线的这个交比不变的性质。注意左下角的a的值，并不随着E点的变化而变化。可见它是一个射影不变量。
它的值只与A、B、C、D的位置有关。
对其它二次曲线也有相同的性质。