根据函数关系求点

mahuan1279

已知数轴上A，B两点存在函数关系，令OA=x,OB=y,且y=a+b/(x+c) （a,b,c为暂未知的定值）,已知三组对应点（A,B）,(A',B'),(A'',B''),如何在数轴上作出y=x的C点。

mahuan1279

相当于已知平面上不共线的三点，A（x1,y1）,B(x2,y2)  C(x3,y3)  满足（X+a)*(Y+b)=c,能否尺规作图做出直线y=x与双曲线的交点？

yimin0519

先给计算一个表达式，供大家参考：




x^2+(x1*y1*(x2-x3+y3-y2)+x2*y2*(x3-x1+y1-y3)+x3*y3*(y2-y1+x1-x2))/(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))*x+(x1*y1*(x3*y2-x2*y3)+x2*y2*(y3*x1-x3*y1)+x3*y3*(y1*x2-x1*y2))/(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2)) = 0

mahuan1279

yimin0519 发表于 2024-10-31 21:18
先给计算一个表达式，供大家参考：

很多尺规作图最终是求一元二次方程，即a*x^2+b*x+c=0,我们可以将方程变一变，x=A+C/(x+B)，即是求y=x和y=A+C/(x+B)的交点。实际上我们很容易通过作图得到2式上的三个点，(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),剩下就是怎么尺规作图求与y=x的交点。说白点，有没有通用尺规作图法？

qjchen

这是圆锥曲线和直线的交点，由于圆锥曲线是由五点确定的，这三点应该可以再拓展出两点，采用通用的五点圆锥曲线和直线的交点做法。

通用的圆锥曲线和直线的交点，在几百年前已经研究得比较多了。

牛顿在其《自然哲学的数学原理》中，大量地讨论了这些内容。

在1833年，Jacob Steiner （斯坦纳大师）

百科介绍：斯坦纳（瑞士数学家、现代综合几何创建人之一）_百度百科 (baidu.com)

其他介绍：https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Steiner/

在他的德语版本 书：Die geometrischen Constructionen 中提出了关于二重元素法，圆锥曲线作图等内容



后来此书被翻译为多国文字，如法语、俄语和波兰语等，一直到1970年才翻译为英文版本。

M E Stark and R C Archibald, Jacob Steiner's Geometrical Constructions with a Ruler, Given a Fixed Circle with Its Center (Yeshiva University, 1970).

在英文版本的附录中，可以看到有如下关于五点圆锥曲线和直线交点的讨论：



不过，比较直观的图，可以看 Luigi Cremona撰写, Charles Leudesdorf翻译的 elements of projective geometry一书

书中给出了此图，可以解决 已知五点，求这根圆锥曲线和一已知直线的交点。 也可以 已知五根切线，求这根圆锥曲线和一直线的交点



当时曾经将这个做法用在这道题上： [越飞越高] 作一三角形外切于所设圆且顶点分别在所设的三直线上

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mo ... 5054&fromuid=250774

其实基本所有的可解几何作图，差不多都可以用此法来求解（二重元素法应该也是类似的原理），只不过有时候稍微有点麻烦。当然假如都用这种方法，估计也会失去一点点乐趣。

所以我们现在做的，大多数都是200年前的东西，大家权当作为放松，保持大脑畅通，防止智力下降太快 ：）

现在的alphageometry，水平已经相当高，可以拿到IMO银牌了。估计以后的题目扔给它就可以，现在还只是证明题，不过估计各种题目通杀也都很快了。

https://github.com/google-deepmind/alphageometry

mahuan1279

qjchen 发表于 2024-11-3 21:26
这是圆锥曲线和直线的交点，由于圆锥曲线是由五点确定的，这三点应该可以再拓展出两点，采用通用的五点圆锥 ...

这就是通用的一元二次方程的解的尺规作图做法么？