求作圆被已知直线截得定比圆弧

chenmik

共两题。

chenmik

yimin0519 发表于 2024-9-28 15:46
第二题，按你的做法确实可以得到四个中规中矩的解。但4楼qjchen兄的反演法过程中四条公切线（相离状况） ...

下图标注参照qjchen老师的图。
个人感觉，问题出在最后解圆的偏移方向上，因为红色圆4是L1经过偏移后的L4的反形。可以看到，四条切线经变换后，其反形(粉色圆)与L4的交角是一样的。但最后两个解圆是由L4向L1偏移，故其与L1的交角相等。而两个伪解圆是由L4向L5偏移，故其与L5的交角相等而与L1的交角不等。因此只有两个解是符合题意的。

yimin0519

chenmik 发表于 2024-9-28 14:04
第二题应该是有四解

第二题，按你的做法确实可以得到四个中规中矩的解。但4楼qjchen兄的反演法过程中四条公切线（相离状况）却出现两条“废”公切线导致伪解，不知问题出在哪里，漏掉的解该如何找回。

10楼第二题的第一种解法（反演法）108°=90°+18°可以得到两个解，其实还可以考虑72°=90°-18°，亦可得到另外两个解。

两圆及直线的形位状态不同，结果导致的结果大局也有差异，譬如下图“错位”相切（非全内切或全外切）竟然也合乎要求，按阿波罗尼斯问题解法的“八切”不会出现六解吧？

yimin0519

chenmik 发表于 2024-9-28 14:04
第二题应该是有四解

进一步探究发现，一般情况应该是八个解！
10楼chenmik兄的第二题第二种转化为阿波罗尼斯问题的解法中，应该考虑两种情形：往上偏移和往下偏移。
实际结果每一个情形的“八切”圆中只有四个是合乎要求的，两种情况合集起来共有八解。t图示如下：
一、两种情形

二、上偏移后的解


三、下偏移后的解

自贡黄明儒

几何没学好，太难了。不过用cad倒是很方便作出来。
1 作AB中垂线与L相交。
2 作一个正5边形
3 拷贝中垂线到5边形（过圆心）
4 AL命令缩放一下，就成了。

qjchen

估计更好的方法是反演，也弄一道位似法的做法

qjchen

第二题应有4个解，此处给出一个，第一题可用类似的反演法求解

yimin0519

qjchen 发表于 2024-9-26 23:53
第二题应有4个解，此处给出一个，第一题可用类似的反演法求解

按你的高招实操了一下，一般情况下应该只有两解（反演过程中两圆所有切线中内、外切各只有一条切线符合要求）：

yimin0519

qjchen 发表于 2024-9-26 15:16
估计更好的方法是反演，也弄一道位似法的做法

参照并练习一下：

highflybird

qjchen 发表于 2024-9-26 23:53
第二题应有4个解，此处给出一个，第一题可用类似的反演法求解

好方法， 学到了一招。

qjchen

highflybird 发表于 2024-9-28 08:42
好方法， 学到了一招。

谢谢高飞兄介绍使用 geogebra，用它来绘制反演挺好，就是字体还不太会

第一题的反演做法比较简单

chenmik

多谢各位大佬解答。第一题较简单，用位似和反演都可以。这里介绍一种解法，转化为阿波罗尼斯问题。

chenmik

第二题，第一种解法，反演成同心圆



第二种解法，转化为阿波罗尼斯问题