求作三角形，已知重心内心和一边所在直线

chenmik

如图

qjchen

算了一阵，居然有一个很简单的答案，尺规作图也就几步，就不画了 ：），用了沈文选老师《平面几何证明方法大全》书中的一个性质。可能和yimin兄用的是接近的性质。再结合了一点解析几何的内容。从求解图形上看，是一个双曲线和一个直线的交点，不过算出来只有一个是有解的。


这个做法是在当年一道与此题类似的题目：几何作图题75-三角形构造系列，已知内心，一中点，一垂足
http://bbs.mjtd.com/thread-70757-1-1.html
之中watt5151给出的一个解法中的一个内心的性质，chenjun兄当时也有一个很好的解法

mahuan1279

建系，可得关系式
n-m=6ar/(4r-3b)=sign(a)*|IK|
mn=3b*[r*r/(3b-2r)]=R^2

如图中，a<0,故有
m-n=|IK|
m*n=R^2
所以
n={(|IK|^2+(2R)^2)^0.5-|IK|}/2


如果a>0,则有
n-m=|IK|
m*n=R^2
所以
m={(|IK|^2+(2R)^2)^0.5-|IK|}/2

chenmik

楼上作法的原理，原先有一个很繁琐的证明，后来找到一个较简捷的证明，整理了一下。发上来。

mahuan1279

可以尺规作图。先来个繁琐点的，权当抛转引玉。

过内心I作BC的垂线IO交BC于O点，以O点为原点，BC为X轴建立直角坐标系。

mahuan1279

已知直线l、m、n三线共点O，A、B为已知点，求X轴上一点P，满足图示要求。

chenmik

mahuan1279 发表于 2024-10-10 19:42
可以尺规作图。先来个繁琐点的，权当抛转引玉。

过内心I作BC的垂线IO交BC于O点，以O点为原点，BC为X轴建 ...

这个作法没看明白。

mahuan1279

chenmik 发表于 2024-10-11 20:06
这个作法没看明白。

哪里没看明白？就是根据建系计算的结果，来转化为作线段长度。

yimin0519

也“算”一个：

mahuan1279

感觉还能简化

yimin0519

mahuan1279 发表于 2024-10-12 12:23
感觉还能简化

这样简化行么？

mahuan1279

yimin0519 发表于 2024-10-12 13:55
这样简化行么？

要的就是这个效果。