[几何作图] 几何作图题110——做三角形内接三角形，边长平方和最小

qjchen

看来的题，不太确定难度，也不太清楚是否出过

yimin0519

mahuan1279 发表于 2024-10-31 16:26
难道除了位似法，没有其他简洁作法？

有，找到了。



缘由：

mahuan1279

>> syms x y z a b c
>> [x,y,z]=solve(2*a*x-b*y+(a-b)*z-a,a*b*x-2*(b^2+c^2)*y-(b^2+c^2-a*b)*z+a*b,(a*a-a*b)*x+(a*b-b^2-c^2)*y+(2*c^2-2*a^2-2*b^2+4*a*b)*z+2*b^2-2*a*b,x,y,z)

x =

(- 4*a^3*b^2 - 4*a^3*c^2 + 6*a^2*b^3 + a^2*b*c^2 + 11*a*b^2*c^2 + 5*a*c^4 - 2*b^5 - 2*b^3*c^2)/(2*a*(- 3*a^2*b^2 - 5*a^2*c^2 + 6*a*b^3 + 8*a*b*c^2 - 3*b^4 + 5*c^4))


y =

(- 8*a^3*b + 18*a^2*b^2 + a^2*c^2 - 12*a*b^3 + a*b*c^2 + 2*b^4 + 4*b^2*c^2)/(2*(- 3*a^2*b^2 - 5*a^2*c^2 + 6*a*b^3 + 8*a*b*c^2 - 3*b^4 + 5*c^4))


z =

-(6*a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 - 12*a*b^3 - 13*a*b*c^2 + 6*b^4 + 8*b^2*c^2)/(2*(- 3*a^2*b^2 - 5*a^2*c^2 + 6*a*b^3 + 8*a*b*c^2 - 3*b^4 + 5*c^4))

qjchen

各位好厉害，我当时看书的时候，直接看到答案了


感觉颇难，就放上来了

几位的做法应该都和正解是差不多的 ：）




此题也有扩展题目 ，已知 λ1，λ2，λ3，求 λ1边长^2+λ2边长2^2+λ3边长3^2的最小值，也是比较复杂，不过yimin兄已经解释了方程出来，估计反而方程求解偏导就已经是解决了。

chenmik

DEF为三边的垂足？垂足三角形的周长最小。

mahuan1279

建系求最值是不错的选择。对目标函数求偏导，得出三元一次方程组，可以求出μ1，μ2，μ3的值。虽然操作繁琐点，但却是可以尺规作图的。

yimin0519

如果三角形的三边为a、b、c，那么内含三角形三边之平方和最小值的表达式应该有吧？

yimin0519

不知道是否是最小的了，作图的话也需要用到平方和差之比，如下图所示：



补个全须全尾的。

yimin0519

作图更方便的表达式：

mahuan1279

yimin0519 发表于 2024-10-29 16:08
作图更方便的表达式：

这就是传说中的对称美

chenjun_nj

固定EF，D点在BC边上，要使DF和DE的平方和为最小，很容易得到D点在EF对BC的投影中点时最小，由此可得△DEF的三条中线必定垂直△ABC的三边。
知道三条中线随便可以方便作个三角形，再位似到△ABC中。

yimin0519

chenjun_nj 发表于 2024-10-29 16:32
固定EF，D点在BC边上，要使DF和DE的平方和为最小，很容易得到D点在EF对BC的投影中点时最小，由此可得△DEF ...

确实是这样的，但这个三角形不一定是垂足三角形。