求作三角形，使三顶点关于三边的对称点三点共线

chenmik

目标三角形应该为钝角三角形。

mahuan1279

>> syms a k x
>> fa=[x,-k*x,1;(k*k-1)*a,-2*k*a,k*k+1;-2*a*k*k*x*x,2*a*k*x*(x+a),k*k*x*x+(x+a)^2]

fa =

[           x,            -k*x,                   1]
[ a*(k^2 - 1),          -2*a*k,             k^2 + 1]
[-2*a*k^2*x^2, 2*a*k*x*(a + x), k^2*x^2 + (a + x)^2]

>> det(fa)

ans =

3*a^3*k^3*x - 5*a^3*k*x - 2*a^2*k^3*x^2 - 10*a^2*k*x^2 + 3*a*k^5*x^3 - 2*a*k^3*x^3 - 5*a*k*x^3

>> solve(det(fa),x)

ans =

                                                                        0
-(5*a + a*k^2 + a*k*(-(k^2 - 3)*(9*k^2 + 5))^(1/2))/(- 3*k^4 + 2*k^2 + 5)
-(5*a + a*k^2 - a*k*(-(k^2 - 3)*(9*k^2 + 5))^(1/2))/(- 3*k^4 + 2*k^2 + 5)

>>

yimin0519

yimin0519 发表于 2024-11-5 09:24
脱胎于8楼QJCHEN的逆作法，找了些特殊点，成就了下面这个解法，两解如下：

说是脱胎于Qjchen兄的逆作法，事实阐述如下（未有严格的证明）:
（设GF=R，搞错字母了。）

highflybird

mahuan1279 发表于 2024-11-3 15:18
已知∠AOB及其外两点P、C ，求过P做一直线分别交OA、OB于E、F，使得O、C、E、F四点共圆。

关于这个的做法为：


不知道是不是与楼主的题目有关联。

yimin0519

“算”一个：



下面这个作图，图面的可读性还不如上面的简洁，放弃与省略撰写作图步骤。

mahuan1279

yimin0519 发表于 2024-11-3 00:34
“算”一个：

费心了，解析式转化尺规作图有点烧脑。

qjchen

利用 外心与垂心距离是 外接圆半径2倍时候（或者外心和重心的距离是外接圆半径的三分之二），反射三角形的顶点共线
这个结论，可以求得一元二次方程。感觉应该也可以有简化的绘图方法：）

yimin0519

qjchen 发表于 2024-11-3 09:04
利用 外心与垂心距离是 外接圆半径2倍时候（或者外心和重心的距离是外接圆半径的三分之二），反射三角形的 ...

似乎亦不易：

mahuan1279

已知∠AOB及其外两点P、C ，求过P做一直线分别交OA、OB于E、F，使得O、C、E、F四点共圆。

qjchen

用逆作法尝试了一下，好像是可以的 ：）


上面这个原因 外心垂心的性质，来自于这里
https://mp.weixin.qq.com/s/uGuDrUymH5tpGz8XFEptqQ

qjchen

mahuan1279 发表于 2024-11-3 15:18
已知∠AOB及其外两点P、C ，求过P做一直线分别交OA、OB于E、F，使得O、C、E、F四点共圆。

角度cfp等于180度减去角度coe

yimin0519

把楼主的题改得直白一点就是下面这样子：