如何寻找等斜率的多段线

天天问

在地形图上有2个点，记为A1、A2。
地形图上，等高线（也就是多段线）的高程以其“标高”数值为准。

需求：作一条起点为A1、终点为A2的多段线，起点和终点之间有数量不等的多段线顶点，顶点的数量取决于多段线的精度。多段线上任意一点的高程值（也就是标高值）根据相邻2条多段线的标高值经插值计算确定，也就是说多段线的每个顶点都可以经插值计算得到一个标高值。以上所得的多段线满足：将多段线展开放到平面坐标系中，X轴表示多段线的顶点距离起点的曲线长度，纵坐标表示顶点的标高，则展开的线为一条斜线（受精度影响，其实是一条近似直线的曲线）。
实际工程情况：有一系列的点，例如A1、A2、A3、A4、A5，最终需要分段计算得到A1-A2、A2-A3、A3-A4、A4-A5，每个分段的多段线都满足上述条件，相邻分段的多段线斜率一般不相等。

最后再举一个例子模拟我的需求：在一片山坡上（等高线就是用来反映实际地形的），有两个点A1、A2，两个点的高度不一样（例如A1在山腰，A2在山顶），现在要在山坡表面寻找一条轨迹，以A1为起点，A2为终点，轨迹沿途就需要一直上坡，但坡度保持不变。

备注：
1.需求是得到满足要求的多段线就行，后面说的把多段线展开到平面坐标系中，是为了补充说明多段线的效果。
2.我这个问题是土木行业的，非土木行业的人士可能不好理解我的需求。我举个简单的例子辅助说明：连接A1、A2的多段线跨越了n根等高线，如果这n根等高线满足“相邻等高线的标高的差值均相等”，那么这n根等高线可以把A1-A2多段线截取为n-1个分段（不含首尾的2个分段），那么这n-1个分段的长度也相等。
3.自我感觉，这个问题的挑战在于：如何计算最终得到的多段线的长度。这个结果可能不是一次性得到，而是经过试算得到。因为：没有最终的总长度，就无法确定说多段线全线的斜率一致。

llsheng_73

天天问 发表于 2025-1-12 16:41
大师，我是土木行业的，这个问题想清晰地表达给其他行业人士听懂，有点困难。您这个箭头基本表达出了计算 ...

只要能完成对A1A2连线的中点p改算，使之满足a1p,pa2斜率相等，就可以一直这样进行下去得到最终的结果。
改算过程大致如下：计算两点中点p，检查斜率，一般情况这个平面位置高程不等于两点高程平均值h，所以斜率不相等。过p作连线的近似垂线l（过p与标高最大和最小这两条等高线的交点距离最大），在l上找到高程为h的点。
通过不断增加点，反复上边的过程，直到所有相邻点间高差小于基本等高距并且斜率相等
但是由于等高线疏密是不等的，有时相差较大，这个思路很可能行不通（有可能根据a1a2平面中点根本找不到其高程平均值h，这个时候前边的思路就这完蛋了），特别是A1A2连线近似垂直于等高线的情况很容易出现这个问题
另一个思路是先计算出A1，A2到各自最近等高线的距离，及相邻等高点间最大距离，然后从A1开始以这个斜率往A2方向在其最近的等高线上找到这个点，这样一直到距离A2最近的等高线上的点p,但这个时候pA2的斜率与前边其它线段的斜率是不相等的，然后应该怎么修正这个斜率重新计算呢？直接把差值加上去重新计算从A1开始，最后能不能得到符合要求的结果？
后边又想了一下，感觉通过在两条等高线之间内插指定标高的间曲线，然后在线上找到指定要点平面距离相等的点以保证斜率一致，应该可以直接求解，只是内插的次数相对较多，而内插曲线相对来说计算量较大，但能一次求解
1.用A1A2通过F方式选择相关等高线并按标高排序，再追加相邻等高线得到等高线数据表hs((标高1 曲线1)...(标高n 曲线n))；
2.用A1A2构建初始点表pts(list A1 A2)并按高程排序，设置初始变量i=0
3.对pts进行while循环处理(结束条件为i=(length pts)
      3.1在表中取第i点p1和i+1点p2计算平均高程h
      3.2在hs中找到和h最接近的两条线(a,b),在a,b间计算内插曲线c并追加到hs并保持按标高排序的特征,记录c到内插曲线图元表s2(内插曲线1)
      3.3在c上找出点p,使p1p和pp2平面距离相等
      3.4如果p1p与p1p2斜率相等，i=i+1,否则将p插入到pts并保持pts按高程排序的特性
4.根据s2删除所有内插曲线
5.返回pts
两曲线间内插曲线的精度直接影响计算结果

llsheng_73

天天问 发表于 2025-1-12 09:25
相邻的2个点（比如A1、A2）之间，可能有几根等高线。目标是用多段线连接A1、A2，多段线均匀跨越A1、A2之 ...

相当于要以A1为起点，A2为终点，修一条水沟？

大概这么个意思？应该有无数多种画法，估计还得约束条件，比如坡比相等且最短或者限制坡比什么的，具体说不好，没弄过

天天问

llsheng_73 发表于 2025-1-12 09:40
相当于要以A1为起点，A2为终点，修一条水沟？

大概这么个意思？应该有无数多种画法，估计还得约束条件 ...

大师，我是土木行业的，这个问题想清晰地表达给其他行业人士听懂，有点困难。您这个箭头基本表达出了计算的结果。问题里约束条件已经全部提出来了，可能非土木行业有点不好理解我这个需求。

你有种再说一遍

条件1:
A1...这些点不在等高线上面.
那么就是按A1点最近的,左右等高线比值,确定此处标高.

目标是画出一条多段线.
沿着等高线?

天天问

你有种再说一遍 发表于 2025-1-11 20:48
条件1:
A1...这些点不在等高线上面.
那么就是按A1点最近的,左右等高线比值,确定此处标高.

相邻的2个点（比如A1、A2）之间，可能有几根等高线。目标是用多段线连接A1、A2，多段线均匀跨越A1、A2之间的几根等高线。
谢谢大师

gzxl

貌似以前在测绘板块也见过类似的

gzxl

看断面图每段之间（如 A1-A2 A2-A3 A3-A4 ）的斜率好像不一样的，上面又说需要多段线全线的斜率一致？
其实我的理解就是指定起点和终点（含高程值），然后按（斜率一致、顶点的数量）原则找出一条轨迹线。

天天问

gzxl 发表于 2025-1-12 19:22
看断面图每段之间（如 A1-A2 A2-A3 A3-A4 ）的斜率好像不一样的，上面又说需要多段线全线的斜率一致？
其 ...

每个分段的斜率是固定的，但不同的分段斜率又各不一样。

llsheng_73

gzxl 发表于 2025-1-12 19:22
看断面图每段之间（如 A1-A2 A2-A3 A3-A4 ）的斜率好像不一样的，上面又说需要多段线全线的斜率一致？
其 ...

应该是A1A2,A2A3...AnAn+1间各自有很多点，由于这些点在各自分段内斜率相同，它们对剖面图的形状是没有影响的，所以剖面图上没有表示它们