来个大家都爱的爆算题

Anapple

做一个矩形，满足其内部能放下5个如图相切的圆，（相连处全都相切），题目出自Ander大佬

yimin0519

Anapple 发表于 2025-2-3 17:17
有根式解哦

圆贼多，费神：

qjchen

挺有趣的题目，用python编了好一段代码才求出来，大概有14位的精度


随手改编下两道题，把此题右边的线改为45度线，直角梯形：），

结果又如何






这些圆圆的相切球，想起了当年做Joselin版主的许多切圆的题目，集合如下，快乐的年轻时光 ：）
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Anapple

有根式解哦

yimin0519

a=100;

b=86.850301679939548081238453054628...;
R1=31.090998694367849448184538993009...。

yimin0519

qjchen 发表于 2025-2-2 23:20
挺有趣的题目，用python编了好一段代码才求出来，大概有14位的精度

矩形的情况只有一种（所谓不同唯镜像矣），如为凸四边形则可能有多种情况。

高一定、“45°”直角梯形一角放置一“恒星”圆(其它四圆拱卫)，“唯一”性情况共有四种(且诸圆互不相等)，见下图：

有时间看能否“爆算”一下，看能付诸尺规作图的又有凡几。

qjchen

代码修改一下，倒是不难算，迟些有空整理好了再把代码放上来。


顺便开个与此题相类似的题目
几何作图题111

左上角以X轴镜像之后的求解代码如下（不少是AI辅助写的），此时，以基准圆半径为1进行计算，没啥技术含量，也没啥通用性，姑且放到这里

1. import numpy as np
   
2. from scipy.optimize import fsolve
   
3. import math
   
4. 
   
5. def line_circle_intersection(p1, p2, center, radius):
   
6.     x1, y1 = p1
   
7.     x2, y2 = p2
   
8.     h, k = center
   
9.    
   
10.     # 如果直线是垂直于 x 轴的直线（x = 常数）
    
11.     if x1 == x2:
    
12.         x_line = x1
    
13.         discriminant = radius**2 - (x_line - h)**2
    
14.         if discriminant < 0:
    
15.             return []  # 无交点
    
16.         y1_intersect = k + np.sqrt(discriminant)
    
17.         y2_intersect = k - np.sqrt(discriminant)
    
18.         return [(x_line, y1_intersect), (x_line, y2_intersect)]
    
19.     A = y2 - y1
    
20.     B = x1 - x2
    
21.     C = x2 * y1 - x1 * y2
    
22.     distance = abs(A * h + B * k + C) / np.sqrt(A**2 + B**2)
    
23.     if distance > radius:
    
24.         return []
    
25.     a = A**2 + B**2
    
26.     b = 2 * (A * C + A * B * k - B**2 * h)
    
27.     c = C**2 + 2 * B * C * k - B**2 * (radius**2 - h**2 - k**2)
    
28.     discriminant = b**2 - 4 * a * c
    
29.     if discriminant < 0:
    
30.         return []
    
31.    
    
32.     # 计算 x 坐标
    
33.     x_intersect1 = (-b + np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
    
34.     x_intersect2 = (-b - np.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
    
35.    
    
36.     # 计算 y 坐标
    
37.     y_intersect1 = (-A * x_intersect1 - C) / B if B != 0 else (-A * x_intersect1 - C) / 1e-10
    
38.     y_intersect2 = (-A * x_intersect2 - C) / B if B != 0 else (-A * x_intersect2 - C) / 1e-10
    
39.    
    
40.     # 返回交点
    
41.     return [(x_intersect1, y_intersect1), (x_intersect2, y_intersect2)]
    
42. 
    
43. # 定义方程组
    
44. def equations(vars, circle1, circle2, line):
    
45.     x, y, r = vars
    
46.     x1, y1, r1 = circle1  # 示例圆1的参数
    
47.     x2, y2, r2 = circle2  # 示例圆2的参数
    
48.     x3, y3, x4, y4 = line  # 示例直线的参数
    
49. 
    
50.     # 圆1的约束
    
51.     eq1 = (x - x1)**2 + (y - y1)**2 - (r + r1)**2
    
52. 
    
53.     # 圆2的约束
    
54.     eq2 = (x - x2)**2 + (y - y2)**2 - (r + r2)**2
    
55. 
    
56.     # 直线的约束
    
57.     A = y4 - y3
    
58.     B = x3 - x4
    
59.     C = x4 * y3 - x3 * y4
    
60.     eq3 = (A * x + B * y + C)**2 - r**2 * (A**2 + B**2)
    
61. 
    
62.     return [eq1, eq2, eq3]
    
63. 
    
64. # 二分法寻找 assumeX 使得 y5 = r5
    
65. def find_assumeX():
    
66.     low, high = 0.4, 0.5
    
67.     tolerance = 1e-16
    
68.     while high - low > tolerance:
    
69.         assumeX = (low + high) / 2
    
70.         
    
71.         p1 = (assumeX, 0)
    
72.         p2 = (assumeX, 3)
    
73.         circle1center = (1, 1)
    
74.         circle1radius = 1 + assumeX
    
75. 
    
76.         intersections = line_circle_intersection(p1, p2, circle1center, circle1radius)
    
77.         
    
78.         if intersections:
    
79.             max_y_intersection = max(intersections, key=lambda point: point[1])
    
80.             x_value, y_value = max_y_intersection
    
81.         else:
    
82.             x_value, y_value = 0, 0
    
83.         
    
84.         # 初始猜测值
    
85.         initial_guess = [2, 2, 1]
    
86.         circle1 = [1, 1, 1]
    
87.         circle2 = [x_value, y_value, assumeX]
    
88.         line = [0, y_value + assumeX, 3, y_value + assumeX]
    
89. 
    
90.         # 求解方程组
    
91.         solution = fsolve(equations, initial_guess, args=(circle1, circle2, line))
    
92.         x3, y3, r3 = solution
    
93. 
    
94.         initial_guess = [3, 2, 1]
    
95.         circle11 = [1, 1, 1]
    
96.         circle13 = [x3, y3, r3]
    
97. 
    
98.         # 求解方程组
    
99.         solution = fsolve(equations, initial_guess, args=(circle11, circle13, line))
    
100.         x4, y4, r4 = solution
     
101. 
     
102.         initial_guess = [3, 0.5, 1]
     
103.         circle11 = [1, 1, 1]
     
104.         circle14 = [x4, y4, r4]
     
105.         line1 = [x4 + r4*math.cos(math.pi/4), y4 - r4*math.sin(math.pi/4), x4 + r4*math.cos(math.pi/4)-3, y4 - r4*math.sin(math.pi/4)-3]
     
106. 
     
107.         # 求解方程组
     
108.         solution = fsolve(equations, initial_guess, args=(circle11, circle14, line1))
     
109.         x5, y5, r5 = solution
     
110.         print(f"当前猜测值: {assumeX}, 解得: x = {x5}, y = {y5}, r = {r5}")
     
111.         
     
112.         if abs(y5 - r5) < tolerance:
     
113.             return assumeX
     
114.         elif y5 > r5:
     
115.             low = assumeX
     
116.         else:
     
117.             high = assumeX
     
118.    
     
119.     return (low + high) / 2
     
120. 
     
121. # 找到合适的 assumeX
     
122. optimal_assumeX = find_assumeX()
     
123. print(f"找到的 assumeX: {optimal_assumeX}")

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