数学逻辑推理题

yjwht

这两天读了本论坛的《给讨厌数学的人：数学的奥妙和生活》，里面讲到逻辑学。忽然想到一道这方面的题目，非常烧脑。发给大家自我挑战一下：


    有一个老师，找了1个两位数，把这个两位数的约数的个数告诉了甲同学，又把这个两位数个位与十位相加后的数告诉了乙同学。
甲乙对话
    甲：我不知道这个数是多少。
    乙：我也不知道。
    甲：我可以确定这是不是偶数。
    乙：我知道这个数是多少了！
    甲：我也知道了！
求这个数是多少？（注：这个题目的前提条件是甲乙两人都是精于推理之人）

yjwht

zhangkui9070 发表于 2025-4-7 07:29
题目有问题，既然需要这么复杂的推理，甲乙为何简单几句对话的时间就知道答案了？

甲和乙都是lisp编程高手，当场他俩就各编写了这么一段代码：

1. ;返回整数n的约数的个数->甲
   
2. (defun tt1(n / list1 i)
   
3.   (setq i 1 list1 '(1))
   
4.   (while (<= (setq i (1+ i)) n)
   
5.     (if (= (rem n i) 0)
   
6.       (setq list1 (cons i list1))
   
7.     )
   
8.   )
   
9.   (length list1)
   
10. )
    
11. ;返回两位数n的个位与十位数之和->乙
    
12. (defun tt2(n)
    
13.   (+ (fix (/ n 10)) (rem n 10))
    
14. )
    
15. 
    
16. ;返回两位数n的甲乙值
    
17. (defun tt()
    
18.   (setq n 10 list2 nil)
    
19.   
    
20.   (while (< n 100)
    
21.     (setq list2 (cons (list n (tt1 n) (tt2 n)) list2))
    
22.     (setq n (1+ n))
    
23.   )
    
24.   (setq list2 (reverse list2))
    
25. 
    
26.   ; 输出表格
    
27.   (setq @dclfiledame (vl-filename-mktemp nil nil ".csv") ; 默认文件名、默认保存路径，扩展名为csv
    
28.         fid (open @dclfiledame "w")
    
29.   )
    
30.   (vlax-invoke
    
31.     (vlax-get-or-create-object "Wscript.Shell")
    
32.     'RUN @dclfiledame) ;任意已经建立关联程序的文件
    
33.   (princ "两位数" fid) (princ "," fid) (princ "甲" fid) (princ "," fid) (princ "乙" fid) (princ "\n" fid)
    
34.   (foreach e list2
    
35.     (progn (princ (car e) fid) (princ "," fid) (princ (cadr e) fid) (princ "," fid) (princ (caddr e) fid) (princ "\n" fid))
    
36.   )
    
37.   (close fid)
    
38.   
    
39.   (princ)
    
40. )

;返回整数n的约数的个数->甲<br /> (defun tt1(n / list1 i)<br />   (setq i 1 list1 '(1))<br />   (while (<= (setq i (1+ i)) n)<br />     (if (= (rem n i) 0)<br />       (setq list1 (cons i list1))<br />     )<br />   )<br />   (length list1)<br /> )<br /> ;返回两位数n的个位与十位数之和->乙<br /> (defun tt2(n)<br />   (+ (fix (/ n 10)) (rem n 10))<br /> )<br /> <br /> ;返回两位数n的甲乙值<br /> (defun tt()<br />   (setq n 10 list2 nil)<br />   <br />   (while (< n 100)<br />     (setq list2 (cons (list n (tt1 n) (tt2 n)) list2))<br />     (setq n (1+ n))<br />   )<br />   (setq list2 (reverse list2))<br /> <br />   ; 输出表格<br />   (setq @dclfiledame (vl-filename-mktemp nil nil ".csv") ; 默认文件名、默认保存路径，扩展名为csv<br />         fid (open @dclfiledame "w")<br />   )<br />   (vlax-invoke<br />     (vlax-get-or-create-object "Wscript.Shell")<br />     'RUN @dclfiledame) ;任意已经建立关联程序的文件<br />   (princ "两位数" fid) (princ "," fid) (princ "甲" fid) (princ "," fid) (princ "乙" fid) (princ "\n" fid)<br />   (foreach e list2<br />     (progn (princ (car e) fid) (princ "," fid) (princ (cadr e) fid) (princ "," fid) (princ (caddr e) fid) (princ "\n" fid))<br />   )<br />   (close fid)<br />   <br />   (princ)<br /> )

然后在WPS表格中用筛选的方法很快得到答案的

铃声末响春日暖

分析一下：

甲：我不知道这个数是多少。
一个两位数，设约数个数为a，则a可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,12。
其中a=3的为25,49；
a=5的为16,81；
a=7的为64；
a=8的为24,30,40,42,54,56,66,70,78,88；
a=9的为36；
a=10的为48,80；
a=12的为60,72,84,90,96。
以上结果均可以通过约数个数定理得到。
则甲的潜台词是：
这个数不可能是36和64！

乙：我也不知道。
一个两位数，设个位数与十位数之和为b，则b的不小于1且不大于18的整数；
而10和99，分别是b=1和b=18中唯一符合的两位数。
则乙的潜台词是：
这个数不可能是10和99！

甲：我可以确定这是不是偶数。
潜台词：
显然a不可能是4,5,6，因为在这种情况下，所列的数既有奇数，又有偶数。

乙：我知道这个数是多少了！
潜台词：
目前所有可能的数：
a=2的为11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97；
a=3的为25,49；
a=8的为24,30,40,42,54,56,66,70,78,88；
a=10的为48,80；
a=12的为60,72,84,90,96。

则b=2的有11；
b=3的有30；
b=4的有13,31,40；
b=5的有23,41；
b=6的有24,42,60；
b=7的有25,43,61,70；
b=8的有17,53,71,80；
b=9的有54,72,90；
b=10的有19,37,73；
b=11的有29,47,56,83；
b=12的有48,66,84；
b=13的有49,67；
b=14的有59；
b=15的有24,78,96；
b=16的有79,88,97；
b=17的有89；
则b只能是2,3,14和17中的一个，才能知道这个数是11,30,59还是89。

甲：我也知道了！
潜台词：
而11,59和89是a=2时的情况，甲不能知道；
30是a=8时的情况，甲可以知道。

故这个数就是30！

指尖

烧的一塌糊涂！！

yjwht

指尖 发表于 2025-4-5 17:55
烧的一塌糊涂！！

是的，这道题顶级难！但解出来超级有成就感

yjwht

先给出部分推理：
因为是两位数，所以约数的个数≥2。
先假定约数个数为2，则这个数是一个大于等于10小于等于99的质数，由于这样的质数很多，所以甲第一句话说不知道这个数是多少很合理，乙说不知道只能说明这个数不等于10或99，甲接着说可以确定这个数是不是偶数就很好解释了，因为两位数的质数肯定是奇数了！这时乙说我知道这个数了，因为两位数的质数只有21个，所以我们可以用排除法确定：两位数的质数的个位与十位之和唯一的只有11、59、67、89。但是下一句是甲说：“我也知道了！”就有问题了。不管这个数是11、59、67还是89，甲都不可能知道！
所以约数个数为2的假设不成立！！！由上推出这个数是大于10小于99的合数！！！

mahuan1279

DS给的答案是16。

fzlinrong

答案是25

yjwht

约数的个数也不可能是4、5、6，因为约数为4、5、6的数有奇数也有偶数，这种情况下甲说的第二句话：“我知道这个数是不是偶数”就不成立了！

zhangkui9070

题目有问题，既然需要这么复杂的推理，甲乙为何简单几句对话的时间就知道答案了？

yjwht

铃声末响春日暖 发表于 2025-4-7 00:43
分析一下：

甲：我不知道这个数是多少。

完全正确，推理高手！