[讨论]黄金分割问题

tqr · 发表于 2006-10-4 08:24:00

黄金分割问题：

一个矩形，宽高比为x，将该矩形裁去最大的正方形，剩下的矩形其宽长比仍为x，这样的矩形称为黄金矩形。x称为黄金分割系数。

可以用几何作图画出黄金矩形。

Joseflin · 发表于 2006-10-4 09:16:00

黄金分割比 (Golden section)

这个数是很有趣的，早在古希腊时期，希腊人就给它取了个特殊名称「黄金分割比」。种种跡象显示，在古希腊之前，古埃及人早已发现这个神秘的数字，他们在歷史上最伟大的工程之一，金字塔的建筑设计上，便大量的用到这个数值。

被伦敦的大英博物馆所珍藏，早於古希腊文明数百年的阿米斯文献 (Papyrus of Ahmes) 中，就有西元前4700年，建筑於盖瑟 (Gizeh) 地方的大金字塔的详细说明。该文献中提到，在这座金字塔的构造上便用到「神圣比数」(sacred ratio)。近代的测量指出，该金字塔的斜边长，与底层的中央到底边长度的比值，恰好就是 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ （测量只精准到小数位后第 3 位，其值为 1.618）。

如此巧妙的黄金分割比，定义作抽象的极限，似乎很不配合埃及与古希腊传统的风格。让我们还是尊重古老的传统，用古典的方法来定义黄金分割比吧：在图 1 中，长为 x+y 的线段，分成长为 x 与 y 的两段。如果全长与较长的一段的比，及较长与较短两段的比相等，其比值就是（设x>y）

(3)

把此式乘出来得 x² - xy - y² =0 ,再以 y 除以等好两边得

(4)

把(4)式解出来得 $\frac{x}{y} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{x}{y} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 。这两个数就是(1)式中出现的两个数了，其中 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是正根， $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 是负根，我们要的是几何中的比值，即正根 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，所以黄金分割比,就是这个数值。

这里有一点值得一提的有趣的性质就是：黄金分割比是唯一与其倒数相差为一的正数，即黄金分割比减去 1，就得其倒数：

$\begin{displaymath}\frac{1+\sqrt{5}}{2} -1 = \frac{2}{1+\sqrt{5}}\end{displaymath}$

这个性质不难由(3)是直接证明得到

$\begin{displaymath}\frac{x+y}{x} = \frac{x}{y} \Longrightarrow 1+ \frac{y}{x} = \frac{x}{y}\end{displaymath}$

当然，你也无妨用有理根式的方法，得到这个关係。

读者也许会问，给定一个线段，如何把它分割成黄金分割比呢？下列是古希腊人的方法，先做出一个黄金矩形，即其长与宽的比，恰好为黄金分割比；先取一的边长为 1 的正方形，并连结一组组对边的中点 E 与 F，把正方形对分为一半，再以 F 为圆心，长为半径圆弧，交 $\overline{AD}$ 的延长线於 G 点，过 G 作的垂线，交 $\overline{BC}$ 的延长线於H。

ll_j · 发表于 2006-10-7 18:11:00

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。此点成为“黄金分割”点。换个简单的说法：

一个数与自身加一（或减一）的乘积为一，此数就是“黄金分割”比例。简单的作法见图。

Joseflin · 发表于 2006-10-8 16:47:00

ll_j的示意图简单明了。

f5612140 · 发表于 2006-10-9 10:33:00

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,....

不懂图,用文字表达,后一数/前一数

89/55->1.618

987/610->1.618

2584/1597->1.618

tqr · 发表于 2006-10-11 13:54:00

圆周的黄金分割。

tqr · 发表于 2006-10-14 14:40:00

6楼的解法。

highflybir · 发表于 2006-10-26 19:41:00

本帖最后由作者于 2006-10-26 20:14:33 编辑

我也来一个Gold-ratio 圆吧:

全部由圆组成!( 在CAD只要用一个命令就可以了）

1、圆1的圆心是B ,AC为其象限点，C为圆2的圆心，BD为其象限点。

2、B为圆3的圆心，D为其象限点，C为圆4的圆心，A为其象限点。

3、以PQ为直径的圆跟以PX 或PY 为直径的圆成黄金分割比。PQ 为1,2的交点，XY为3，4的交点。

（红色的圆跟绿色的圆半径之比为黄金分割）

番茄炒蛋 · 发表于 2007-4-14 00:10:00

受益拉．．．．．

呵．．．

老华 · 发表于 2007-4-22 08:43:00

碰到高手，我只有学习的份了

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