[原创]几何做图问题4-[三角形相关(面积分布和等边△构建)]

qjchen

1. 要求在三角形BCD中找到一点E,将三角形的面积分为2:3:4三部分,应该有几个解的,求出一个即可.

2. 要求在三角形ABC中三边(延长线也可)各找出一个点,构成一个等边三角形DEF,可能某些情况下是无解的,只需在有解的情况下找出一个解法即可(这道题是乱想出来的,应该是可解的吧).
这道题也可以扩展到三个圆,求等边三角形,不过可能会难不少.

 

tqr

第2题的解不唯一。

第一题的一种笨办法：

qjchen

tqr兄厉害,那第二题增加一个限制条件,就是D为已知点

highflybir

我这里介绍一个方法，那就是如何用仿射几何的方法去解决这类型题目，

虽然这个方法不一定是很简单，但具有通用性。

它的一般思路是：把一个一般性的几何图形看看能不能映射到一个简单的几何图形中去，（像一般的三角形可以映射成等边三角形），然后对这个简单的几何图形求解，把解再映射回去。

tqr

highflybir版主介绍的方法很好，谢谢！

2楼我的解法简化一下，BD实际上通过AC的2/5等分点。过该点作AB的垂线，长度为h1；再从该点向下作垂线，设长度为h2。应满足4*AB*h1=2*AC*h2。然后连接h2的下端点与B，从B点作缩放，使h2的下端点落在AC上。

tqr

第一题的简单解法：

tqr

第2题限定D点的解法

在指定点D，作任意大小的正三角形，与三角形两邻边相接。以D为中心，将另一邻边极阵列：2个，-60度。与三角形第三边有交点。以该点和D点为边，画正三角形。

原理：两三角形全等。

tqr

第2题变化如下，难度较大，但有几何解。

qjchen

答TQR兄题

 

tqr

qjchen兄的解法很简洁，佩服！

我的解法有点麻烦，仅供参考。