《越飞越高007》求经过点的最短的线段

highflybir

如上图，给出两条直线1，2形成一个角<1o2，在这个角的内部有一定点X，求经过点X的最短的线段AB。

woaishuijia

设直线1：
Y=AX  (A>0)
设直线2：
Y=-BX  (B>0)
设直线3(经过点(0,M),M>0)：
Y=KX+M  (M>0;-B<K<A)
直线1、3交点：
X1=M/(A-K)
Y1=AM/(A-K)
直线2、3交点：
X2=-M/(B+K)
Y2=BM/(B+K)
两交点距离：
L=sqr((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)
=sqr((M/(A-K)+M/(B+K))^2+(AM/(A-K)-BM/(B+K))^2)
=M(B+A)*sqr(1+K^2)/((A-K)(B+K))
由题意知：
L'=0
(sqr(1+K^2))'((A-K)(B+K))=((A-K)(B+K))'sqr(1+K^2)
K(A-K)(B+K)=((A-K)-(B+K))(1+K^2)
ABK+AK^2-BK^2-K^3=A-B-2K+AK^2-BK^2-2K^3
K^3+(2+AB)K-A+B=0

令N=K^2，则有：
NK+(2+AB)K-(A-B)=0......双曲线
N=K^2......抛物线

主要画图步骤：
1、当A>=B时：在XY平面，以原点为顶点，以Y=X为旋转轴，半顶角为45°，建立三维圆锥实体模型；以其顶点为基点，移动至座标(-2-AB,0,sqr(2A-2B))处；以经过原点的XY平面剖切之，复制截面边，得到双曲线XY+(2+AB)Y-(A-B)=0。
    A<B时画法与此类似，略
2、在XZ平面，以原点为顶点，以X=-Z为旋转轴，半顶角为45°，建立三维圆锥实体模型；以其顶点为基点，移动至座标(0,0,0.5)处；以经过原点的XY平面剖切之，复制截面边，得到抛物线X=Y^2
    两曲线交点纵座标即为K
3、过点(0,M)做斜率为K直线，与直线1、2分别交于A、B，线段AB即为所求结果。

watt5151

highflybir发表于2007-2-20 15:55:00给出两条直线1，2形成一个角<1o2，在这个角的内部有一定点X，求经过点X的最短的线段AB。

楼主的这个philo 线问题好象没完，顶上来学习下 . .. .

qjchen

:)
http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3737478&oldpage=1&thesisid=494
http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3737478&oldpage=1&thesisid=494

此处讨论过philo线，叶中豪老师的意思一般情况下应该是尺规作图不能问题。

watt5151

qjchen老师提供的资料真精彩，看眼界了。

我也来凑热闹啦：

代阿李的爸爸问个问题  philo 线

代阿诗的妈妈问个问题  费洛线

代阿拉的伯伯问个问题  菲洛线