空间坐标转换

jkbanana

空间坐标转换

    编写图形处理程序时，常常要进行坐标转换。坐标转换实际上是坐标矢量的转换。所谓坐标矢量就是把坐标系的原点设为起点，坐标点设为终点的矢量。坐标系有很多种，而我们常常是在直角坐标系中工作，所以在以下的讨论中，坐标系均指直角坐标系。

    设有2个直角坐标系，分别命名为UCS和WCS，如下图。以下讨论这2个坐标系间的坐标转换关系。 

1. 空间坐标转换的基本方法：

UCS中的坐标x' 和WCS中的坐标x分别设为,

      x'=(x', y', z')^T ,  x=(x, y, z)^T

UCS中的单位坐标轴矢量e^x, e^y, e^z和原点O' 均由WCS的成分如下表示

e^x =(e^x₁ , e^x₂ , e^x₃ ) ^T , e^y =(e^y₁ , e^y₂ , e^y₃ ) ^T , e^z =(e^z₁ , e^z₂ , e^z₃ ) ^T , O' = u = (x₀ , y₀ , z₀ ) ^T

其中，WCS为一标准的直角坐标系，即x,y,z轴的单位坐标轴矢量和原点分别是，

(1, 0, 0) ^T, (0, 1, 0) ^T, (0, 0, 1) ^T和 (0, 0, 0) ^T。

在以下矢量和矩阵的演算中, 均采用指标的形式进行。

1) WCS中的坐标转换成UCS中的坐标

  当把WCS中的坐标转换成UCS中的坐标时，可以通过如下公式进行计算，

    x'_i = a_ij (x_j - u_j) = a_ij x_j - a_ij u_j
在以上的计算中，假定坐标系WCS先平移u，再旋转后变成UCS。

又设平移成分为

       M_i = a_ij u_j

则有,

       x'_i = a_ij x_j - M_i

式中，

为仅有旋转的坐标转换矩阵，即坐标旋转转换矩阵。由上式可以知道，当WCS为一标准的直角坐标系时，UCS的单位坐标轴矢量和坐标旋转转换矩阵a有着等价关系。

2) 坐标转换时，为方便计算常常采用4次元坐标。这时，WCS的坐标和UCS的坐标分别表示为，

    x = (x, y, z, 1)^T,  x' = (x', y', z', 1)^T

此时,坐标转换矩阵定义为H，H的成分如下:

利用H，把WCS的坐标转换成UCS的坐标时，如下运算:

    x'_i = H_ij x_j

3) UCS中的坐标转换成WCS中的坐标

  这是上述变换的逆运算，即

       x_i = a^-1_ij (x'_j - u'_i )

整理后,

       x_i = a_ji x'_j + u_i

在上式的计算中，假定坐标系UCS先平移u'，再旋转后变成WCS。

当用4次元坐标时，坐标转换矩阵定义为H 的逆矩阵H^-1如下:

利用H^-1可由下式把UCS的坐标(x',  y',  z') ^T转换成WCS(x,  y,  z) ^T的坐标，

       x_i = H^-1_ij x'_j

另外, 在ACAD VBA中, 通过GetUCSMatrix() 方法获得的坐标转换矩阵即为H^-1

4) HとH^-1 (inverse matrix)的关系

为表示简洁, 设G=H^-1

H和G有如下关系:

       (1)  i=1,3 ; j=1,3

            H_ij= G_ji

       (2)  i=1,3 ( j=4) ; k=1,3

            H_i4= - G_ki G_k4

            G_i4= - H_ki H_k4
       (3)  i=4 ; j=1,4

            H_ij= G_ij

   由以上运算可以看出，坐标转换计算时，求坐标转换矩阵是关键。以下讨论坐标转换矩阵的计算方法。

 2. 坐标旋转转换矩阵a的计算方法

   在讨论绕不同的坐标轴旋转所对应的坐标旋转转换矩阵时,旋转角度的符号由以下方法确定：当由旋转角按右手法则确定的旋转方向和旋转轴正方向一致时，取正号；相反则取负号。

1)  设仅绕x轴旋转g 角度的坐标旋转转换矩阵为a^x, 仅绕y轴旋转b 角度的坐标旋转转换矩阵为a^y, 仅绕z轴旋转q 角度的坐标旋转转换矩阵为a^z, 它们的成分分别如下:

2) 仅有旋转的一般情况：即先绕x₁轴旋转q₁，再绕旋转后的x₂轴旋转q₂，...，再绕前面旋转后的x_i轴旋转q_i，...，最后再绕前面旋转后的x_n轴旋转q_n的坐标旋转转换矩阵可由以下公式算出:

      a_ij= aⁿ_ik a^n-1_kl···aⁱ_pq···a¹_mj

由此可知道，最后旋转的坐标旋转转换矩阵在最前，最先旋转的坐标旋转转换矩阵在最后，和实际旋转的顺序相反。

例如，先绕z轴旋转q ，再绕旋转后的y轴旋转b，最后再绕经过前面2次旋转后的x轴旋转g 的坐标旋转转换矩阵a

       a_ij= a^x_ik a^y_kl a^z_lj

由于以上是矩阵的运算，所以坐标旋转转换矩阵a与旋转的顺序有关。

3. 同时有旋转和平移的坐标转换矩阵的计算方法

    一般的坐标转换，可能同时有旋转和平移的情况，这时把坐标旋转转换矩阵a改为由上述定义的H，其余的和仅有旋转的一般情况一样运算，最后即可求出4次元的坐标转换矩阵H。

由以上的结果，可以得出一般情况的坐标转换。即先进行坐标转换1，
   再在第一次转换的基础上进行坐标转换2，...，再在第i-1次转换的基础上进行坐标转换i，...，最后在第n-1次转换的基础上进行坐标转换n的坐标转换矩阵H可由以下公式算出

      H_ij= Hⁿ_ik H^n-1_kl···Hⁱ_pq···H¹_mj

最后进行的坐标转换矩阵在最前，最先进行的坐标转换矩阵在最后，和实际坐标转换的顺序相反。由于以上的矩阵运算知，坐标转换矩阵H与旋转以及平移的顺序都有关。

兰州人

好帖子，我对这个题目做了一定的工作，希望与楼主就具体内容进行切磋．

laoliu09

只要算法清楚了，程序就可以实现啦！呵呵！

ningyong58

在CAD中TranslateCoordinates 应用更简单,收藏这个帖子.

wuyunpeng888

VBA本身就提供了矩阵转换的函数