点在直线哪一侧问题的求解

jkbanana

命题:

点在直线的哪一侧?  与下面的命题是等价的

已知一直线(给定不重合的两端点P₁, P₂), 确定两点S1, S2是否在直线的同一侧?

首先应明确的是这类命题都仅在2D空间才有意义, 虽然在计算上采取3D的手法.

该问题可以通过矢量的内积与外积的计算,如下确定.

 

  设以P₁为起点, 以P₂, S₁, S₂为终点的矢量分别为V₀, V₁和V₂.

     V₀ = P₂ - P₁

     V₁ = S₁ - P₁

     V₂ = S₂ - P₁

  如果S₁与S₂在直线的同一侧的话，下面所示矢量的外积(还是矢量)

      (V₀×V₁) 和 (V₀×V₂)

的方向一致.

结论:

        (1) (V₀×V₁) =0  ---  点S₁在直线上

        (2) (V₀×V₂) =0  ---  点S₂在直线上

        (3) (V₀×V₁) · (V₀×V₂) > 0  ---  S₁与S₂在直线的同一侧

              (V₀×V₁) · (V₀×V₂) < 0  ---  S₁与S₂不在直线的同一侧

 ******************************************************* 

 

关于矢量的内积与外积的计算方法:

  设两矢量为G, E, 数组的索引从0开始计算时, 成分表示如下,

    G = (G(0), G(1), G(2) )^T, E = (E(0), E(1), E(2) )^T,

  1) 矢量的内积c为标量, 如下计算,

     c = G · E = G(0)E(0) + G(1)E(1) + G(2)E(2)

  2) 矢量的外积V还是矢量,

     V = G × E

     V 的成分如下,

        V(0) = G(1)E(2) - G(2)E(1)

        V(1) = G(2)E(0) - G(0)E(2)

        V(2) = G(0)E(1) - G(1)E(0)

fl202

见下面的链接：
http://bbs.mjtd.com/forum.php?mo ... mp;extra=#pid809120