几何作图题7-圆内线段相等问题

qjchen

:)

Joseflin

請問：讓長度75=長度85 是什麼意思？

qjchen

不好意思，没有描述清楚

在圆上找一点6，让弦16和弦26与弦34交于点7，8，希望让点5，7的距离和点5，8的距离相等

其实几何里面描述点的应该用A，B，C之类的，我用了数字，是不规范的

highflybir

从直观上看不出答案，感觉到与射影几何有关。用轨迹法当然可以求出，但每个题目都用轨迹法，显然失去了做几何题目的意义。又不想用maple从中算出答案，不知道QJchen可有好方法?

qjchen

highflybird兄高见，此题是匈牙利第97届数学竞赛的题目

需要用几何变换进行求解（尺规可以完成）

在萧振纲先生的《几何变换》中有解答，不过我也没有看答案，自己没有想出什么方法。

highflybird兄有空把蝴蝶定理给我等讲解一下啊

Andyhon

qjchen兄:

在几何变换第一册内找到了这个解法
但愿能激起您的回忆

Andyhon

蝴蝶定理

qjchen

:)
谢谢Andyhon兄，看了提示，我才发现原来U.M.亚格龙 先生的《几何变换-第一册》书里就有此题。谢谢。确实很聪明的解法，利用了两次圆内同弧对应同角度的方法，证明三角形全等，不过我没有能够想到。书内还有不少好题目。

蝴蝶定理的证法也很巧妙，以前我证了好久没有证出来:p

可能这两道题里面都应用到了“对称”这种变换了。

谢谢。

highflybir

Andyhon之博闻，另我等佩服，学习学习。

原来是奥数的题目，我要想出此题，恐怕不是一时半会能够的了。算了，也免得死了好几个脑细胞。

其实蝴蝶定理对于任意的二次曲线都能满足，我以前用的是参数方程证的，并没有用几何证法，事隔快二十年了，如今恐怕都不记得怎么证的了，只羡慕当初年轻好胜.

Andyhon和QjChen都既是解题高手，又是编程高手，有他们在明经通道，在这个几何版块讨论，幸哉!

qjchen

:)

今天翻硬盘才发现当时研究Andyhon兄解答时候的一幅图没有放上来，此处补上。

 

△OFG≌△OHB，故线段相等