《越飞越高021》已知三心，求做三角形

highflybir

已知三角形的三心，垂心，重心，外心，求做三角形，有无解？

当然这三心的位置不能乱给定，必须满足三心共线，且垂心到重心，重心到外心的距离之比满足欧拉线的那个规律。

这个题目是可以几何作图的么？

如果已知的是，重心，外心，垂心，内心（当然还有更多的心，暂且不去讨论）其中的三个心，要求做这个三角形，是有解，无解，多解,有无几何解？

这可能是一个很难的问题。

qjchen

2007.10.30晚上

下午的想法在晚上实现的时候总是有点小问题

现在我暂时的思路如下

取垂心为(0,0)，重心为(A,0)，外心为(1.5A,0)

三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

那么，每个心有两个性质，共6个方程，可以求解三个顶点

其中，垂心性质为：某顶点和垂心的连线的斜率*另两个顶点连线的斜率=-1（可以写出两个方程，第三个是冗余的）

重心点和某顶点的连线的距离和中点与另两个顶点中点连线的距离成1：2（可以写出两个方程，第三个是冗余的）

外心和三个顶点的距离相等（可以写出两个方程，第三个是冗余的）

共6个方程，6个未知数，应该可以求解。

个人感觉可以用三个方程就表达的，可是似乎某步思路错误了。

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2007.10.30下午

:)
三角形的构造问题至少得有三个元素
其等效条件应该是可以通过三个三元方程来求解出边长a,b,c

假如这个题目是三心重合的话，肯定有无穷多解。

假如三心不重合的话，个人认为是有代数解的，是否有几何解等晚上回家算一下。

它的三个方程分别是每心对应一个，初步估计是可以求解的。

highflybir

很感谢QJchen兄的思路。

这个题目我感觉垂心，重心，外心是可能有几何解的，但如果三心中有内心的话，很可能没有几何解。因为内心跟前面的三心似乎有点非线性关系。

前段时间一直忙于画图，现在松了一点，可以去想想这个问题，另外也把Qjchen兄的其他几道题目想一想。

qjchen

:)

最近才知道之类问题叫做Wernick问题，不过没有看过原文，不知道确切情况。

  ”1982年，威廉·沃尼克(William Wernick)提出:已知三个定点求作三角形的139个
问题，其中三个定点来自于顶点、外心、内心、垂心、重心及高线足、中线足、角平分线足。

1. William Wernick.  Triangle constructions. with three located points. Mathematics Magazine 55(1982)，227一230.

watt5151

highflybir发表于2007-10-30 11:19:00已知三角形的三心，垂心，重心，外心，求做三角形，有无解？

 

 

等价于已知欧拉线上任意二心，有无数解：