【自我挑戰191】

Joseflin

求a之最大值：

Noalsoran

太难了吧？要计算的吧？

lymjkl2008

记得以前算过，面积范围为[m,S].其中S=根号下a*b*c*d=根号下44*50*54*60=360*根号下55.此时为双心四边形。

因此:MaX(a)=4S/L=(45/26)*根号下55. 可能不对，只供参考。

hejoseph

可以这样做：
设凸四边形ABCD有内切圆，其半径为r，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，a+c=b+d，点A、B、C、D到内切圆切点的切线长分别为w、x、y、z，则
w+x=a，x+y=b，y+z=c，z+w=d，
于是
x=a-w，y=b-x=b-a+w，z=d-w，w+x+y+z=a+c=b+d，
r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)=(wx(y+z)+yz(w+x))/(a+c)=(cw(a-w)+a(b-a+w)(d-w))/(a+c)，
f(w)=acw-cw^2+ad(b-a)+a(a+d-b)w-aw^2=ad(b-a)+(a^2+ad+ac-ab)w-(a+c)w^2=ad(b-a)+2adw-(a+c)w^2，
r^2是一个关于w的二次函数，再结合w的范围就可以确定r的取值范围了。
当w=ad/(a+c)时，f(w)取得最大值，
f(ad/(a+c))=(ad(b-a)(a+c)+(ad)^2)/(a+c)=(ad(ab-a^2+bc-ac+ad))/(a+c)=(ad(a(b+d)-a(a+c)+bc))/(a+c)=(abcd)/(a+c)，
因此半径最大时这个四边形是双心四边形，并且内切圆半径为√(abcd)/(a+c)。

qjchen

若Yimin0519兄在190中得到的圆心轨迹为圆弧的话，倒是可以如下用插值法做，经尝试，似乎确实为圆弧。

放大了10倍。

 

Joseflin

依Yimin0519方法作的。

1. 作EB=50 EC=54 BC=60之三角形EBC
2. 作GB=94 GC=54 之三角形BGC              ***50+44=94
3. 以CIRCLE(t t t) →1'st=tanBG  2'nd=tanBC  3'rd=tanGC →作#1圓
4. 過E作<BEC之等分角線EF 並與BC相交於F
5. 以CIRCLE →cen=F  r=#1圓之圓心H →作#2圓
6. 以CIRCLE →cen=#2圓之上四分圓O  r=OF→作#3圓
7. 作BA=50並與#3圓相切
8. 作CD=54並與#3圓相切
9. 連接AD

yimin0519

经检验，本题所求最大内切圆，正是双心四边形的内切圆。自我挑战190第7楼（http://www.mjtd.com/BBS/dispbbs.asp?boardid=37&replyid=84307&id=65498&page=1&skin=0&Star=1）的作法也正是双心四边形的内切圆。

既然该凸四边形的最大内切圆是其为双心四边形时的内接圆，那么本题又多了一种方法：先作好该凸四边形的外接圆，然后很自然地就得到了内接圆！（凸四边形的外接圆的作法本论坛有好几个帖子）

hejoseph

其实如果知道等周定理，这个问题是非常容易解决的：多边形的边长不变时，当这个多边形有外接圆时其面积最大。

知道有外接圆的凸四边形的边长作这个凸四边形的方法：

qjchen

To Yimin兄

居然有这么多道理蕴含于里面，学习了，谢谢。那看来下面这道题也是可以解的了。

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=63301

To Hejoesph老师，论坛里也讨论过此问题

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=61819

原来此题是历史名题啊，学一招~

yimin0519

凸四边行外接圆的作法在本论坛“基础应用”版块里曾经讨论得很热烈，ahlzl有过几种经典的解答，本版块Qjchen先生的解法也很妙啊！其它论坛大多都是Hejoseph先生的相似三角形加阿氏圆的作法，也有别具风格的另类解法。