【自我挑戰192】

Joseflin

求a之最小值(整數)：

hejoseph

最小的半径不存在的，若存在，则四边形会退化为一个三角形。

设凸四边形ABCD有内切圆，其半径为r，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，a+c=b+d，点A、B、C、D到内切圆切点的切线长分别为w、x、y、z，则
w+x=a，x+y=b，y+z=c，z+w=d，
于是
x=a-w，y=b-x=b-a+w，z=d-w，w+x+y+z=a+c=b+d，
r^2=(wxy+wxz+wyz+xyz)/(w+x+y+z)=(wx(y+z)+yz(w+x))/(a+c)=(cw(a-w)+a(b-a+w)(d-w))/(a+c)，
f(w)=acw-cw^2+ad(b-a)+a(a+d-b)w-aw^2=ad(b-a)+(a^2+ad+ac-ab)w-(a+c)w^2=ad(b-a)+2adw-(a+c)w^2，
因此半径最大时这个四边形是双心四边形，并且内切圆半径为√(abcd)/(a+c)。
要所求的四边形存在，必须保证以下四个条件同时成立：w>0，w<a，w>a-b，w<d，根据f(w)的单调性，可知f(w)不存在最小值。

若允许四边形退化为三角形，则只需要判断max(0,a-b)与min(a,d)哪个远离ad/(a+c)，将这个w值代入f(w)就可以求出最小的半径了。

yimin0519

半径（或直径）规定为整数就可能有唯一最小的了。

Joseflin

yimin0519的建議很好，題目已更正。

hejoseph

仍然可以用上面的方法做，先求出r的值域，用上面得到的二次函数表达式及w的范围是很容易求出来的，在值域内最小的整数就是所求了。

yellow

Andyhon

同样依圆心轨迹....

三角形 [60 , (54+44) , 50] 有最小值 23.4159709-

取 Φ24.0作圆

yellow