四面体的棱切球

hejoseph

再发个课题给大家研究一下。
与四面体各棱所在直线都相切的球称为四面体的棱切球。
四面体的棱切球必定存在吗？若不一定存在，需要满足什么条件？
给定四面体六棱长度，试判断棱切球球心的位置（只需要判断在四面体内、在某一面上、在四面体外即可），并求出其半径。

qjchen

:)

看来是个比较新的数学问题啊，在网上找了一下，Z C LIN，Y D WU和Z H Zhang做过相应研究。

得到的结论如下图。

大致的意思是：满足的条件为：

对棱和相等时候会存在着棱切球.

还存在一些其他复杂的关系。可能得有空才能好好来学习这些了。

 

hejoseph

其实若四面体ABCD中AB+CD=AC+BD=AD+BC或AB-CD=AC-BD=AD-BC时都存在棱切球，只是后面一种球与棱所在的直线相切但切点不全在棱内部，而是在棱的某个方向的延长线上。

满足AB+CD=AC+BD=AD+BC时的球的半径是2wxyz/(3V)，其中w、x、y、z分别是四面体四顶点到这个球的切线长，V是这个四面体的体积。

满足AB-CD=AC-BD=AD-BC时的球的半径也有类似的结论。

这些结论还是先让大家自己先探索一下吧。