三角形内的三个正三角形

hejoseph

给定一个三角形和一定点，在其内部求作三个正三角形，使每个正三角形的其中一个顶点为这个定点而其余两个顶点分别在这个三角形的两边上。

Andyhon

依内部定点将其中一边旋转60°交另一边而得出边长

qjchen

:)
Andyhon兄好方法。

那把此题改一下，变成已知外三角形

求做三角形内一点，使其如1楼一样做三个等边三角形，但此三个三角形全等。

不知道是否困难。个人感觉应该还是尺规可以问题。

Andyhon

单侧等长的等边三角形,其顶点的轨迹是一直线
求出两侧的轨迹线,其交点即为共同顶点
而得三个全等等边三角形

hejoseph

qjchen改得好啊！

上面那个轨迹是否已经得到证明呢？

wrx2002

高手，学习了！

hejoseph

谁能证明一下那个轨迹是直线？

yimin0519

TO Hejoseph先生:

思路到是不难，解题却耗费不少时间，解析几何证明见下图:

插图：AutoCAD2004 ；计算：Maple V11； 排版：Word 2003 ；抓屏：SNAGIT32

hejoseph

昨晚也找到一个证明方法了：

以yimin0519的图为例，原点放在A点，射线AC为x轴正向。|AE|=p，|CF|=q，|OD|=r，|OG|=s，那么
p-rcosA=q-scosC，rsinA=ssinC，
解这个方程组，必然得到
r=t1p+t2q，s=t3p+t4q，
其中t1、t2、t3、t4都是常数。
利用复平面的向量，向量EP对应的复数是
(r(cosA+isinA)-p)(cos60°-isin60°)，
设点P在AC上的射影是P'，则
|AC|=t5p+t6q，
|PP'|=t7p+t8q，
|AP'|=t9p+t0q，
其中t5、t6、t7、t8、t9、t0都是常数。
设|AC|=b，那么
q=u1p+u2b，
其中u1、u2都是常数。
于是
|AP'|=u3p+u4b，
|PP'|=u5p+u5b，
因此|PP'|是以|AP'|为自变量的一次函数，所以点P的轨迹必定是一条直线。

至于直线的位置可以通过两个特殊位置得到。

yimin0519

呵呵，拙贴大版主太给面子了。

To hejoseph

我原也想用向量关系来证明，无奈功底太差。