四边形作图

hejoseph

今天编的题目，可能没有尺规作图法作出。
给定四线段a、b、c、d，求作凸四边形ABCD，使AB=a、BC=b、CD=c、DA=d，并且有一圆O的圆心在边AB上，圆O与BC、CD、DA都相切。
例如a=498，b=225，c=194，d=275，求作满足上述条件的凸四边形ABCD和圆O的半径。

hejoseph

晚上试验了不少数据，发现这个题目是可以用尺规法作出来的，至于怎么作还不知道，大家努力寻求解答吧。

yimin0519

个人的看法：

1、四边a、b、c、d之间必须满足某种关系才有解；

2、有解时一般有两解，四边形为梯形时只有一解[即b+d=a时或者说有一边等于相邻两边之和，此时用阿氏圆可以解得]。

3、有解时，三切圆的圆心轨迹为一抛物线，应当可以用反演的办法可以解得。(是否如此，还是请Qjchen先生看看)

一般情况： 

梯形时：

qjchen

:)
我的思路和YIMIN兄是一样的，做到寻找圆心的轨迹这一步。

不过我卡在这一步了。

第一：这个轨迹是否就是圆锥曲线？，个人觉得似乎不一定。

第二：就算求得了圆心点，似乎也无法马上求得四边位置。

尺规作图法个人感觉应是存在的，就是不懂而已。最近网上闲逛，发现强人太多，看来等半年后有空就得多看书了。

hejoseph

今天的计算结果，当四边形不是梯形时，利用求出的x值就可以作出线段x，接着就可以作出线段y，然后就可以确定整个四边形了。当四边形是体形时，两平行边的距离可以由r确定。
大家看看是否可以利用这个结论把作图简化，或有更好的方法。
图中必定有b+d>c的判断不正确，b+d=c的情形是存在的，但此时作图非常容易，圆O的直径就是AB。

注：x里的根号里的4bd后面的括号应是(b+d)²-c²

hejoseph

应Joseflin版主的要求把题目修改了一下。

上面的方法可以从公式中一步一步推导出尺规作图的步骤，但非常麻烦的，大家再寻求一下简化的方法吧。

qjchen

:)
Hejoseph兄的做法真不错，和以前Ahlzl版主做已知圆内接四边形边长的做法有异曲同工之秒。

而该题利用了阿氏圆之后，可以得到巧妙的解答，不知道本题是否也可以这样来构造相似三角形呢，先把他存在未解题库中，慢慢来思考啊。

hejoseph

还是没有什么进展。

补充说明一下，上面6楼中如果解出的x<0，则说明射线BA与射线CD有交点，但必须x<-c才是满足条件的解。

hejoseph

这个问题仍未找到简便的作图法，大家努力找一下。

hejoseph

谁能把半径的公式计算出来？