Apollonius问题

hejoseph

不知道本版是否讨论过这个问题呢？这是个十分重要的基本题目，可以解决很多问题。

P表示给定点，L表示给定直线、C表示给定圆
Apollonius问题是给定上述三种元素的三个组合，作一个圆，如果有给定点的要过这个定点，如果有给定直线的要与给定直线相切，如果有给定圆的要与给定圆相切。
Apollonius问题有十种情况，有一些情况是十分简单的，如PPP和LLL，这个问题很多书上都有详细的解法了，大家来总结一下吧。
（1）PPP
（2）PPL
（3）PPC
（4）PLL
（5）PLC
（6）PCC
（7）LLL
（8）LLC
（9）LCC
（10）CCC

qjchen

:)
这可是历史名题，本版有过讨论，但是没有很具体的分类。
此处有两种阿波罗尼斯的做法，一种是反演，一种是相似中心。
个人感觉通过反演，应该可以解决以上问题。

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=57526


最近，天下无毒_史先生 的一个帖子，也与此有关
http://tieba.baidu.com/f?kz=318600453

在MJTD的许多帖子中，还存在着这么一类相似的问题，那就是---规定圆心在某直线或者圆上，而做一圆通过已知点、或者切于某直线或圆。大致有如下情况。（当然，在本版常用的AUTOCAD做法中，有一半问题都是很简单的）

1 要求圆心在某直线上，做圆（AUTOCAD容易）

1.1 圆过两已知点

1.2 圆过一已知点，切一已知直线

1.3 圆过一已知点，切一已知圆

1.4 圆切一已知直线和一已知圆

1.5 圆切二已知直线

1.6 圆切二已知圆

2 要求圆心在某圆上，做圆（不一定容易，有些可能是无尺规解）

2.1 圆过两已知点

2.2 圆过一已知点，切一已知直线

2.3 圆过一已知点，切一已知圆

2.4 圆切一已知直线和一已知圆

2.5 圆切二已知直线

2.6 圆切二已知圆

在MJTD的题目中，还有和切线长度相关的同根轴的圆的做法，也是挺有趣的，有待整理。

hejoseph

这是很好问题集啊，整理出来就是一份非常好的资料了。

hejoseph

（1）PPP是很基本的作图，应该都会了。

hejoseph

（2）PPL
给定点A、B以及直线l。
若直线AB与直线l相交于点P，则过点A、B作任意一圆与直线l有交点，过点P作这个圆的切线，其中一切点为C，以点P为圆心PC为半径作圆交直线l于点D、E，则三角形ABD与ABE的外接圆就是所求。

若直线AB与直线l平行，则作线段AB的中垂线与直线l相交于点C，三角形ABC的外接圆就是所求。

hejoseph

（3）PPC
给定点A、B以及圆O。
若线段AB的中垂线不过点O，则过点A、B任作一圆与圆O相交于两点C、D，直线AB与直线CD相交于点P，过点P作圆O的切线，切点分别为E、F，则三角形ABE和三角形ABF的外接圆就是所求。

若线段AB的中垂线过点O，则作线段AB的中垂线与圆O相交于点C、D，则三角形ABC和三角形ABD的外接圆就是所求。

hejoseph

（4）PLL
给定点P以及直线a、b。
若直线a、b相交于点Q，则作以a、b为边含点P的角的平分线，在角平分线上任取一点T，以T为圆心作一圆与a、b均相切，这个圆与直线PQ相交于点U、V，过点P作TU的平行线与角平分线相交于点D，过点P作TV的平行线与角平分线相交于点E，则以点D为圆心DP为半径的圆及以点E为圆心EP为半径的圆就是所求。

若直线a、b平行，在a上任取一点A，过点A作a的垂线交b于点B，作线段AB的中点C，过点P与a平行的直线与以点C为圆心AC为半径的圆相交于点D、E，过点P作CD的平行线交过点C与a平行的直线于点T，过点P作CE的平行线交过点C与a平行的直线于点U，则以点T为圆心TP为半径的圆及以点U为圆心UP为半径的圆就是所求。

hejoseph

（5）PLC
给定点P，直线l，圆O。
过点O作直线l的垂线，与圆O相交于点A、B，与直线l相交于点C，作三角形ACP的外接圆，直线BP与这个外接圆相交于另一点Q，过点P、Q作与直线l相切的圆（方法见PPL）就是所求。

hejoseph

（6）PCC
给定点P，圆A、圆B。
任取圆A的一条不与连心重合的半径AC，作与AC平行的圆B的半径，直线CD与圆B相交于点E，作直线CD与直线AB的交点F（若CD与AB平行可以省略该步骤），作三角形PCE的外接圆，若直线AB与直线CD相交则作直线PF与这个外接圆的另一交点Q，若直线AB与直线CD平行则作过点P与AB平行的直线与这个外接圆的另一交点Q，过点P、Q作与圆A或圆B相切的圆（方法见PPC）就是所求。

hejoseph

（7）LLL
这是很基本的作图，大家都应该会了。

（8）LLC
通过圆的缩放和直线的平移就可以转化成PLL解决了。

（9）LCC
通过圆的缩放和直线的平移就可以转化成PPL或PLC解决了。

（10）CCC
通过圆的缩放可以转化成PPP或PPC或PCC解决了。