[转帖]世界上最难的简单几何题

seng

World's Hardest Easy Geometry Problem

Using only elementary geometry, determine angle x. Provide a step-by-step proof. You may only use elementary geometry, such as the fact that the angles of a triangle add up to 180 degrees and the basic congruent triangle rules (side-angle-side, etc.). You may not use more advanced trigonomery, such as the law of sines, the law of cosines, etc. There is a review of elementary geometry below. This is the hardest problem I have ever seen that is, in a sense, easy. It really can be done using only elementary geometry. This is not a trick question. Here is a very small hint. Here is a small hint.

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World's Second-Hardest Easy Geometry Problem

Using only elementary geometry, determine angle x. Provide a step-by-step proof. This is a variation of the problem above. This is also a very hard problem that is, in a sense, easy. Here is a very small hint. Here is a small hint.

qjchen

:)，谢谢Seng给出题目

确实是挺难的题目，第二道题，此处给出了解法，第一道题目的解法可能与第二道题目有些类似，也是可以构造出一个等边△来的。

http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3540540&oldpage=15&thesisid=494&flag=topic1&

部分文字转载---清宮俊雄——日本初等幾何學第一人(矢野健太郎)

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簡歷:清宮俊雄(Toshio Seimiya,1910—)經由舊制第一高等學校,在昭和六年進入東京大學理學院數學系。他是我的同班同學,一起跟著中川銓吉教授專攻幾何學。他在舊制 第一高等學校當學生時(當年十六歲)發現了有名的「清宮定理」,歷任東京物理學校教授、東京學藝大學教授和專修大學教授。
在初等幾何學的研究上他算是坐上日本第一把交椅的人。
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這是相當以前的事。T大學的微分幾何學研究會開始前在雜談時出席中的一位年輕數學家說:「我在當家教教一名中學生,前些日子他問我一個題目,我一直做不出來,很是傷腦筋,不知道那一位能夠教教我?」
題目是這樣的:「頂角A為20◦的等腰三角形ABC中,過B引一直線,與AB邊成20◦角而與AC邊交於D。又過C引一直線,與AC邊成30◦角,而與AB邊交於E。試問角CDE有幾度?」(參看圖(V))。
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(V)
這個研究會的參與者大都是著名大學的教授和助教授,但是在開會前沒有一個人解出這個問題來。

我回家後也想這個問題,當天沒有解出來,不但如此,想了兩三天也沒有做出來,只好掛電話給清宮。他說:「那是有名的難題,伊藤宏寫的「數學練習」中有跟它本質上類似的題目,你就這樣做做看。」就教我下面的作法。

因為三角形ABC是頂角為20◦的等腰三角形,兩個底角分別為180◦減去20◦除2而得80◦角。就像圖(VI)所示,
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(VI)
角BCE為50◦,角CBD為60◦。在三角形BCE內,角BEC等於三角形內角和的180◦減去角B(80◦,再減去角BCE(50◦故為50◦。結果可寫成圖(VII),
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(VII)
而看得出三角形BCE是BC邊等於BE邊的等腰三角形,記上它們是相等的符號。

現在過B點引一直線,與BC邊成20◦角,而與AC邊交於F。則角BFC等於三角形內角和的180◦減去角CBF(20◦,再減去角C(80◦而得80◦,故三角形BCF為角C與角F相等的等腰三角形,做上BC等於BF的記號(參看圖VIII),
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(VIII)
另一方面角EBF是80◦減去20◦而成60◦。所以三角形BEF是頂角為60◦的等腰三角形,也就是正三角形,故三邊相等,做上邊相等的記號(參看圖(IX))。
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(IX)
現在來考慮三角形BCD。內角BDC等於三角形內角和180◦減去內角CBD(60◦再減去內角BCD(80◦而得40◦。因此,三角形FBD二底角相等而成為等腰三角形,邊FB等於邊FD,做上相等的符號。這樣討論下來,我們知道以F為圓心,FB為半徑的圓過D,E點。畫出這個圓如圖(X),
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(X)
則角BDE是弧BE上的圓周角,而為弧BE的中心角60◦的一半,故角BDE是30◦。因此所求角CDE是40◦加30◦,等於70◦。

—本文譯者顏一清任教於輔仁大學數學系—

Mr-香蕉皮

对不对的啊！骗人的吧！用初中知识都可以算出来的啊！

chenjun_nj

回复 Mr-香蕉皮 的帖子

不用三角函数，纯初等几何的计算方法，第1题如下，红色粗线均等长，蓝色粗线等长。

winabcd

楼上厉害，我看到解答，还看了半小时才看懂。

brige2009

真的是挑战智力