[转帖]国际数学奥林匹克题目

seng · 发表于 2008-7-10 16:05

本帖最后由作者于 2008-7-10 16:05:40 编辑

如圖，正方形A`B`C`D`位于正方形ABCD中，
在正方形A`B`C`D`内求作P点，使得：
PA/PA`=PB/PB`=PC/PC`=PD/PD

chenjun_nj · 发表于 2008-7-11 17:38

作图法见下图

原理，将小正方形绕P点旋转，全是相似三角形，当然各个长度比相等了。

chenjun_nj · 发表于 2008-7-14 10:56

补充一点：P点是个旋转中心，在小正方形旋转时不动，所以P点到2个正方形各对应顶点及边的距离比就是大小正方形的边长比，找P点的两条蓝色辅助线就是按这个原理作的。

seng · 发表于 2008-7-14 14:17

highflybir · 发表于 2008-7-15 22:17

本帖最后由作者于 2008-7-16 22:32:06 编辑

很好的一道题目，其实这个题目可以引申到不动点理论。楼主的解法很妙。

qjchen · 发表于 2008-7-16 20:45

本帖最后由作者于 2008-9-13 8:58:00 编辑

真是好题目，是否对于两个相似形，其旋转位似中心就是这样的不动点，而就同时也会具备这样的性质呢。

个人觉得

中的解法也可作为此题的解法。

chenjun_nj · 发表于 2008-7-17 09:19

qjchen发表于2008-7-16 20:45:00真是好题目，是否对于两个相似形，其旋转位似中心就是这样的不动点，而就同时也会具备这样的性质呢。

应该是的，因为原始位似时的位似中心就是这个不动点，图形绕该点旋转后还保持该点到任何要素的距离不变。

kongz · 发表于 2008-7-17 16:17

就是一个内部相平行的正方形和外部的正方形的对应点连线的交点就是不动点，这个好理解，但是内部这个正方形根据这个不动点可以旋转到当前的这个正方形的位置，则该点的可能只有一个，如果用解析的办法去算可以算出来，但是作图还是没有看出来是怎么做的。

图中也没有看到蓝色的辅助线，最后确定交点P的两个圆也不知道怎么作的，看来数学还是不好啊

watt5151 · 发表于 2008-9-13 19:42

seng不愧为搜索能手，居然搜到本小姐的帖子与答案：

同志哥，请放眼看看此题(已解决)

chenjun_nj · 发表于 2008-9-15 23:31

就此题来说，不用圆规只用直尺也就够了。

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