[求作]三步作出三角形

watt5151

已知三个定点,
请问如何作出三角形:它的三条高的垂足分别落在三个定点上。
（能三步作出来吗？)

chenjun_nj

1、作出3个定点为顶点的三角形的内心；
2、过内心连3个定点的直线；
3、过3个定点作第2步中直线的垂直线即为所求三角形的3个边。

原理：三角形的垂心是垂足所围三角形的内心。

yimin0519

Chenjun_nj先生的垂足三角形用得好。

watt5151

Chenjun_nj先生的方法比较传统，学习了。

有没有其它作法？

hejoseph

2楼chenjun_nj的方法少了三个解，除了内心外，垂心也可能是垂足三角形的旁心。

如下图A、B、C是给定的垂足，那么△DEI、△EFI、△FDI、△DEF都是所求的三角形。

chenjun_nj

hejoseph兄分析得对。

watt5151

楼主也提供以下作法：

设已知三垂足为D、E、F
①作EF的中垂线交⊙DEF于G点，G必定是BC边的中点
②在DG线上取GB=GC=GE
③BF、CE的延长线交于A
则△ABC为所求。

证明要点：⊙DEF是费尔巴哈九点园

watt5151

喜欢全面讨论问题的朋友，

不妨考虑G`那点的情况，

或者另作DE、DF的中垂线 . .

②在DG线上取GB=GC=GE

hejoseph

从我给的图里已经很清楚了，所在垂足所成的三角形的内心和三个旁心任选三点就是所求的三角形的顶点了，而且答案已经全部包含进去了。

watt5151

watt5151发表于2008-10-7 10:54:00喜欢全面讨论问题的朋友，不妨考虑G`那点的情况，或者另作DE、DF的中垂线 . .②在DG`线上取G`B=G`C=G`E

传统解法值得学习，

7楼的解法同样可以得到传统解法的全部结果 . .