[原创]诱人的垂心①

watt5151

 
已知H是圆内一定点
请问如何作出以H为垂心的圆内接△ABC
使得H是△ABC某高线的三分点

watt5151

三步之内可以作出来吗？

qjchen

:)

watt5151

qjchen发表于2008-10-6 11:30:00:)43735

 

长时间热烈鼓掌！

qjchen破解了楼主‘三步之内’的作法！！

很想看看作法的证明。

chenjun_nj

OH就是△ABC的欧拉线，所以△的重心在OH线上，又∵HD=AD/3与重心在中线上同比例，∴OH∥BC；
而我们知道AD⊥BC（AD是BC的垂线），∴AD⊥OH；
后面就简单了，∵AH=AE/2、AH=2HD，∴HD=AE/4

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-6 23:53:00OH就是△ABC的欧拉线，所以△的重心在OH线上，又

作图之初，并不知道H是垂心、“OH就是△ABC的欧拉线”哦：
①H可以是任意点，作红线垂直于OH
②取HK=AK/3; 作蓝线垂直于红线
则H必定是△ABC的垂心

chenjun_nj

watt5151发表于2008-10-6 8:36:00 已知H是圆内一定点请问如何作出以H为垂心的圆内接△ABC使得H是△ABC某高线的三分点

watt5151：
可能我们的理解不同，题目明确规定了H为△ABC的垂心（见红字）。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-7 9:50:00watt5151：可能我们的理解不同，题目明确规定了H为△ABC的垂心（见红字）。

那边002021中捷股份没有起色，过来看看。

请问：由作法各步如何证明H是垂心？

chenjun_nj

由作法可以知道，HD=AD/3，那么△的重心就在OH线上（重心在中线的1/3处），O是△外心，那么OH就是△的欧拉线，作图法已经保证AD是BC上的高，H点是欧拉线与高的交点，肯定就是垂心了，否则如果在欧拉线OH的非H点是垂心，那不就是高AD不通过垂心了。

watt5151

楼上的证明OK啦。

设K`是AH的中点，因为费尔巴哈九点园经过K、K`，

所以费尔巴哈园的园心必定在KK的中垂线OH上；于是OH是欧拉线，于是欧拉线与高线的交点H就是垂心。