[原创]诱人的垂心②

watt5151

已知H是圆内一定点
请问如何作出以H为垂心的圆内接△ABC
使得同过A点的高线与中线的夹角最大

qjchen

:)

此题比较有趣，做了好一阵

 

watt5151

长时间热烈鼓掌！qjchen破解了楼主的作法：
(为点的标签一致，采用qjchen的图片)
①以OH的中点为园心，以大白园半径的一半为半径作绿园
②以‘OF=OH/3’为弦作小白园与绿园相切于G
③过G作IJ⊥OG，延长GF交大白园于K
则△KIJ为所求。

 

watt5151

很想看看作法的证明、绿园与OF的来历，

为什么G点是底边中点？

期待qjchen大师同法破解：

[原创]三点的难题<三>

[求作]三步作出三角形

[原创]三点的难题<三>

[求作]三步作出三角形

qjchen

:)，记录一下当时的思路

此题我是如此构思的
知道了垂心，和外接三角形
要构造出三角形，其实是有无数解的。如何构造呢
如下图其
任取圆上一点Q，由于垂心的特性（三角形垂心关于边的对称点在其外接圆上）
那么，HQ中点P是三角形边上的一点，而IJ必是其一边，KIJ就是一个以H为垂心的三角形。
变换Q，就可以得到各种各样以H为垂心的三角形，此时P点的轨迹就是左图的绿圆
其特征如WATT所写
圆心为OH的中点，半径为大白圆半径的一半
见右图
做出OG⊥IJ，则G为IJ中点。根据三角形的性质，三角形的外心，重心，垂心是共线的，且外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半
此时，F为三角形的重心，且HF=2OF。
可以证明，G点的轨迹也是上述描述的绿圆（见左图）
那么，要使得∠PKG=∠OGF最大（题目要求）
就转变为在绿圆上找一点，使得角OGF最大（左图），此时，只有圆OGF和绿圆相切才能使得角OGF最大（这是一个比较常见的题目）

 

watt5151

qjchen发表于2008-10-7 7:08:00:)，记录一下当时的思路此题我是如此构思的

如此的构思不错，原来作者：qjchen 与楼主用不同的思路得到了极为相似的作法。

再来一题：[原创]诱人的垂心③