[求作]刁得一班人喊难的题 到三边距离之和等于高

watt5151

已知△ABC ,AB=14   BC=15   AC=16
O是高线AV的中点
请您在离O点最近的地方作出K点
使得K点到三边的距离之和等于AV
即 KD+KE+KF=AV

qjchen

三边垂线段和为定值的点的轨迹是一直线（个人猜想）

由于本题的特殊性，答案如下

不好意思了，昨天题目做错了（错的图如三楼watt5151指出的），此处修正

看来最近常范错误

 

watt5151

qjchen发表于2008-10-9 21:18:00 43815

请用几何画板检验下结果 . .

hejoseph

那个轨迹确实是直线（其实是线段），用解析几何不难得到证明的。

watt5151

qjchen发表于2008-10-9 21:18:00 43820

OK，刚刚看到‘编辑过的 . .’

看电视剧了，明天再议。

chenjun_nj

watt5151发表于2008-10-10 20:04:00OK，刚刚看到‘编辑过的 . .’看电视剧了，明天再议。

又撒大小姐脾气了。

watt5151

qjchen编辑后的2楼作图是对的呀，
可惜没有说明‘那点’是计算出来的呢还是几何画板运动出来的。

设△ABC的内切园半径为r
由已知条件知AB+AC+BC=3BC
∵△ABC的面积=AD×BC/2
  △ABC的面积=r×(BC+AB+AC)/2=3r×BC/2
∴AD=3r
可见内心N是“到三边的距离之和等于AD”的点，
按4楼hejoseph‘那个轨迹确实是线段’的说法，
AN上的点到三边的距离之和都等于AD
所以，O到AN的垂线之足K为所求。

watt5151

因为未确定在AN外还有没有符合题意的点，所以完成此刁题还需下步：
假设另有符合题意的K`比K更接近O
设B`K`=x
AD=K`D`+K`B`SinB+K`C`SinC=K`D`+xSinB+(B`C`-x)SinC
上式中，只有x是一次未知数，所以x的值是唯一的，
即K`是B`C`线上唯一‘到三边距离之和等于高’的点，出矛盾了
(B`C`与AN的交点也是‘到三边距离之和等于高’的点)。
所以，没有符合条件的比K更接近O的点