[原创]高线等于外接圆半径的三角形

watt5151

请问如何作出下面的△ABC
它的外接圆半径与高线AD的长度都等于同一个已知定值，
它的垂心刚好是AD的中点

chenjun_nj

作法：
过D作线m⊥AD，延长AD至H'、使DH'=DH；过A、H'两点作半径为AD的圆O交线m于B、C两点，完成。
证明：
作图中红色的两条线CF、CH'，∵∠2=∠3（全等△）、∠2=∠1（同弧上的圆周角），∴∠1=∠3，△AFH∽△CDH，∴∠AFH=∠CDH是直角，H是两条高的交点，必是垂心；
而作图时圆O的半径为AD，所以△ABC为所求△。

chenjun_nj

垂心H在AD线的任意位置也是同样的作法，实际应用了垂心对任一边的对称点在外接圆周上这个定理。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-13 17:34:00垂心H在AD线的任意位置也是同样的作法，实际应用了垂心对任一边的对称点在外接圆周上这个定理。

2楼chenjun_nj的解法好标准，不错不错。

“ . .  对任一边的对称点在外接圆周上”的点，称为‘好点’：
设M为锐角△ABC内一点，M关于AB、BC、CA的对称点分别为D、E、F
若A、B、C、D、E、F六点共园，则称M为‘好点’。
试找出锐角△ABC的好点。
答案：
垂心是唯一好点
  (1993  江苏省数学竞赛)