[求作]老题：等边垂足三角形

watt5151

chenjun_nj

在△的任两条边上以相邻的边的距离比作阿波罗尼圆，交点就是所求的P点。
原理：垂足△定理，垂足△的边长=P点到原△对应顶点的距离*原△对边的距离/原△外接圆直径。

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chenjun_nj发表于2008-10-15 22:43:00在△的任两条边上以相邻的边的距离比作阿波罗尼圆，交点就是所求的P点。原理：垂足△定理，垂足△的边长=P点到原△对应顶点的距离*原△对边的距离/原△外接圆直径。

chenjun_nj的作法可以理解，‘阿波罗尼圆’是可选的方法之一。

方法之二：

作∠BPC=60°+∠A
作∠APC=60°+∠B
此P点即为所求。

 

证明(请自画辅助线)：
设P点到BC、AC、AB垂线之足分别是D、E、F
①∵P、D、C、E共于以PC为直径的园
  ∴∠DEP=∠DCP
  ∵P、F、A、E共于以PA为直径的园
  ∴∠FEP=∠FAP
②∠DEF=∠DEP+∠FEP
  =∠DCP+∠FAP  
  =∠C - ∠ACP+∠A - ∠CAP
  =∠A+∠C - (180° - ∠APC)
  =∠A+∠C - [180° - (60°+∠B)]
  =60°
同理：
∠DFE=60°
∠EDF=60°
所以，△DEF是等边三角形。