几何作图题80-过一点做射线，使得构成的三角形两边长度和等于第三边长度两倍

qjchen

几何作图题80-过一点做射线，使得构成的三角形两边长度和等于第三边长度两倍

如图

 

watt5151

qjchen发表于2008-10-15 22:41:00几何作图题80-过一点做射线，使得构成的三角形两边长度和等于第三边长度两倍

作：
①作PQ垂直于角平分线OA
②过PQ的中点M作MN∥OB
③取PA=MN
则PA所在直线为所求

证：
PA=MN=MQ/Sinα=PQ/2Sinα=PASinβ/2Sinα
Sinβ/Sinα=2
BO/BA=2
(BO+CO)/(BA+AC)=2
完了

chenjun_nj

另一种作法：
作∠A的平分线，任作AE=EF，以F为⊙心EF为半径作⊙交平分线于G、H点；过D作DI∥FH、DJ∥FG，完成。

hejoseph

有没有人考虑过这个更一般的问题呢？aAE+bAF=EF，qjchen的题目就是a=b=1/2的情况了。

qjchen

To watt5151小姐 和chenjun_nj兄

二位的做法都很好，学习了，我知道的答案和watt5151的比较类似。

To Hejoseph兄

你的问题很好，我只大概想过AE+AF=nEF的做法，还没仔细思考你提的新问题，思考中

chenjun_nj

hejoseph发表于2008-10-16 21:32:00有没有人考虑过这个更一般的问题呢？aAE+bAF=EF，qjchen的题目就是a=b=1/2的情况了。

给一个比较烦琐但容易理解的作法，期待更间作法：
在线AB上任取两点Q、G，使QG=a*AQ，以Q为⊙心、QG为半径作⊙；
在线AC上任取两点H、I，使HI=b*AH，以H为⊙心、HI为半径作⊙；
过A作⊙HI的切线AK，以QG为距离作线m∥AK、交CA的延长线于M；
以H为⊙心、HI+QG为半径作⊙，必切线m于L点；
过M、Q作直线交⊙HL于N、N'两点；
以M点为中心、分别以MQ/MN、MQ/MN'为比例缩放H点至H'、H"，连QH'、QH"；
过D点作DF∥QH'、DF'∥QH"，就是本题的两个解。
证明：
过H'、H"作与⊙QG相切的两个园，QH'=a*AQ+b*AH'、QH"=a*AQ+b*aH"，而DF∥QH'、DF'∥QH"，根据位似原理所作的解必满足同样的关系。

chenjun_nj

可以再简化：
QH'、QH"不用做了，直接连HN、HN'即可。实质是求作一园，圆心在AC线上并同时与园Q及AK线相切。