[求作] 老题：关于 G、I、H 的问题

watt5151

 G、I、H 是已知园上三定点，
请问如何作出园的内接△ABC，使得：
△ABC的重心在AG上
△ABC的内心在AI上,
△ABC的垂心在AH上。

chenjun_nj

重心、垂心均很好找，内心好象又要解四次方程了，能肯定有尺规解吗？

watt5151

chenjun_nj发表于2008-10-23 11:38:00能肯定有尺规解吗？

肯定有尺规解。

楼主不会拿不成熟的题目来套取各位的答案，浪费阁下的脑汁。

hejoseph

奥数之家给的答案

图中的数字就是作图的顺序

chenjun_nj

hejoseph兄的做法好象不对，我的分析思路如下：
先找欧拉线，根据欧拉线定理OG=GH/2，在A'G'线上任取一点E，延长OE至EE'=2*OE，过E'点作E'H∥A'G'交A'H'线于H点，H就是垂心；
连OH交A'G'线于G点，G点就是重心；
以H为缩放中心将⊙O缩放至1/2成绿色⊙O'，根据定理，⊙O'就是所谓的费尔巴赫9点圆，△ABC的内切圆必定内切于这个圆，再根据d*d=R*R-2Rr欧拉定理、并结合内心I必须在A'I'线上可以列出方程求得A'I'上有2个点为满足条件的内心I点，求出I后内切圆的半径r也就知道了，后面就很好做了；
我现在困难的是方程是4次的没本事解、也找不到几何方法求r。

chenjun_nj

终于明白了题目的原意，只是要求作出的内接于⊙O的△ABC中A点与G、I、H的连线过事先指定的点G'、I'、H'，那样的话hejoseph兄的做法是对的，对不起了！是我想复杂了，还以为3条线的位置是事先指定的。
假如是我想的那样，还有可能有尺规解吗？

watt5151

 

4楼hejoseph的作法正确，还可以这样简单：

①作HA∥IO
②连AG交IO于Z
③过Z作BC⊥AH
则△ABC为所求
(莫斯科数学奥林匹克 1935)