定角定点作图问题

hejoseph

给定一角O及其内部一点P，过点P的直线与角的两边相交于点A、B。求A作这条直线使OA+OB最小。

chenjun_nj

使用了计算。
作法：
过P作PD∥OX交OY于D点，取DE=DP；
以OE为直径作⊙；过D作DF⊥OE，交⊙于F；
取OG=DF，连GD；过P作AB∥GD，完成。
证明：
由解析几何证明当△OAB满足下列等式时OA+OB为最小
(sinA/sinB)^2=sinβ/sinα
即(OB/OA)^2=DP/OD
∵由作法AB∥GD，∴OB/OA=OG/OD，
∴(OG/OD)^2=(DF/OD)^2=DF*DF/OD^2
=OD*DE/OD^2=OD*DP/OD^2=DP/OD
即(OB/OA)^2=DP/OD
证毕

hejoseph

chenjun_nj兄的作图法很漂亮啊！我是通过构造OP√sinα、OP√sinβ两线段长度来作图的，不如你的简单。
(OB/OA)^2=sinβ/sinα`这个结论我的推导方法如下：
由张角定理，得
sinα/OA+sinβ/OA=sin(α+β)/OP，
利用权方和不等式得
sinα/OA+sinβ/OA≥(√sinα+√sinβ)^2/(OA+OB)，
这样就得到
OA+OB≥OP(√sinα+√sinβ)^2/sin(α+β)，
不等式仅当√sinα/OA=√sinβ/OB时取得等号，即(OB/OA)^2=sinβ/sinα。