n倍角三角形的三边关系式

baoshisun4

问题1:三角形ABC中，角A=nB,n为正整数，试求其三边a,b,c满足的一个n次齐次多项式方程．

hejoseph

欢迎baoshisun4老师啊！

这里的论坛暂时还不支持公式输入，只能用纯文字表示或贴图了。

这个问题可以得到$a^2=b^2+bcsin(n-1)B/sinB，bcsin(n-1)B/sinB$通过n-1倍角公式可以得到一个关于a、b、c的分式（不含根号），不知道baoshisun4老师有没有更简单的方程？

baoshisun4

这样得到的方程是齐次的，但次数太高了！我得到的结果是$n$次的，是最佳的次数．

（表达式比较繁，不过我还有一个简洁的递推公式）

hejoseph

`次数不会很高，只有n=1时候得到a^2=b^2，其余就是n次的，因为在计算sin(n-1)B、sinB过程中通分后分子分母的次数都是n次，而且分母只会出现(ab)^k，(ac)^k、(bc)^k、(abc)^k这样的项。

当然希望baoshisun4老师能提供递推公式，如有推导过程更好了。

baoshisun4

依您的方法化简，应该是2n-3次的（n>=2时）．可以再试试看！

hejoseph

n=2，`bcsinB/sinB=bc
n=3，`bcsin2B/sinB=bccosB=b(a^2+c^2-b^2)/(2a)
n=4，`bcsin3B/sinB=bc(4-3sin^2B)=bf(a,b,c)/(4a^2c)，f(a,b,c)是a、b、c的三次齐次函数
后面的计算太烦，不过结果都是一样的

baoshisun4

f(a,b,c)是４次吧？

hejoseph

对不起，是算错了。baoshisun4老师的方法是怎样的呢？

hejoseph

想跟baoshisun4老师得到的结果对比一下，看方程能不能找到有什么差别：

`n=2：a^2=b(b+c)

`n=3：(a+b)(a-b)^2=bc^2

`n=4：a^4(3b-4c)-2a^2b(3b-5c)(b+c)+3b(b^2-c^2)^2=0`

baoshisun4

　　这里记方程为`f_n(a,b,c)=0`, 我得到的递推关系式为:

`f_n(a,b,c)=frac{f_(n-1)(a^2-b^2,bc,ac)}{(a+b)^([(n-1)/2])(a-b)^([(n-2)/2])},f_0(a,b,c)=1<sup><sub>,</sub></sup>[x]`是高斯取整函数．

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