[自编]已知角平分线、内心，作三角形

watt5151

抹去等腰△ABC(AB=AC)的部分线段后，余下角平分线CD与内心
请您重作这个三角形。

watt5151

姐妹篇： [自编]已知三线长，作三角形

chenjun_nj

本题计算一下就可以了。
作法：
延长CD使DD'=DI；以CD'为直径作圆；作DK⊥DC交圆CD'于K点，取DK的中点M；
以DI为直径作圆；作圆DM交圆DI于Q点；作线DQ及DC的垂直平分线交点为N；
连CN并过I点作IF⊥CN；取BF=CF；连BD交IF于A点；连AC，完成。
分析：
连BI，在△BCD中，BC/BD=sin∠BDC/sinα=sin(180°-3α)/sinα=sin3α/sinα=(3sinα-4(sinα)^3)/sinα=3-4(sinα)^2=4(cosα)^2-1
∵BI是B角的平分线，∴BC/BD=CI/DI，结合上式4(cosα)^2-1=CI/DI
cosα=(DC/DI)^0.5/2
在△DIQ中，DQ=DI*cosα=(DI*DC)^0.5/2，由作法可知我们作出的就是这个DQ。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-11-22 17:23:00本题计算一下就可以了。作法：延长CD使DD'=DI；以CD'为直径作圆；作DK⊥DC交圆CD'于K点，取DK的中点M；以DI为直径作圆；作圆DM交圆DI于Q点；作线DQ及DC的垂直平分线交点为N；连CN并过I点作IF⊥

楼上chenjun_nj利用“sin-3α=3sinα-4(sinα)^3”的关系，提供了一个作法，
作为交流，楼主也利用这个关系来个

作法1：
①取IP=ID，作直角△CQP使得CQ=DP
②作∠PCQ的平分线CB 
③作∠IBC=∠IBA=∠DCA=∠DCB
则△ABC为所求

证：设BA交CD于D`
显然，I是△ABC的内心
∵CI/ID`=CB/BD`=SinBD`C/SinBCD`=Sin3α/Sinα=1+2Cos2α=1+2CP/CQ=1+[2(CI-DI)]/(2DI)=CI/DI
∴ID`=ID 
∴D、D`是重合的，CD是△ABC的角平分线
完了。

watt5151

利用2楼的“作法一的温馨提示”，不难想出新的作法。

watt5151

watt5151发表于2008-11-23 18:11:00利用2楼的“作法一的温馨提示”，不难想出新的作法。

作法2
①以IC为直径作蓝⊙O 
②以DO为直径作绿圆，蓝绿园交于P    
③作△DIB ，使得DB=DP  IB=IC
④作∠DCA=∠DCB ，完成△ABC

证：
∵DB×DB=DP×DP=DI×DC (DP是蓝园切线)
∴DB是⊙BCI的切线
∴∠DBI=∠ICB
注意到∠ICB=∠IBC  ∠ICB=∠ICA
所以，I是等腰△ABC(AB=AC)的内心，完了。