求空间一点在平面上的投影,非常感谢

lionyoyo

已知三点A(x1 y1 z1)，B(x2 y2 z2)，C(x3 y3 z3)确定一个平面,求点P(xp yp zp)在面ABC上的投影，及面ABC的过点P的垂线,谢谢！

chenjun_nj

要是不怕麻烦，就按下面的步骤计算：
过A、B、C三点的平面方程为
((y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1))(x-x1)+((x3-x1)(z2-z1)-(x2-x1)(z3-z1))(y-y1)+((x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1))(z-z1)=0
那么过P点与ABC面垂直的直线方程为（两个等式）
(x-xp)/((y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1))=(y-yp)/((x3-x1)(z2-z1)-(x2-x1)(z3-z1))=(z-zp)/((x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1))
三式求出交点。

nonsmall

nonsmall已经实现的算法:

根据棱锥体积公式:

V＝(1/6)צx1x2x3x4¦¦y1y2y3y4¦¦z1z2z3z4¦

其中四个点的坐标分别为（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,（x4,y4,z4）简单的说就任意取三个点为底，1/3（底*高）就是体积附一个三角型面积公式

上面是个4阶行列式 展开后得到体积

根据棱锥体积和平面ABC的面积(没记错的话是海伦公式)求高度h

海伦公式:利用两点之间距离公式，求出三角形的三边长a，b，c后，令p = (a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面积S :

S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

根据高度h 点P ABC计算获得垂足即可

                          |1         1       1       1|
V＝(1/6)   ×          |x1     x2     x3     x4|
                          |y1     y2     y3     y4|
                          |z1     z2     z3     z4|
其中四个点的坐标分别为（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,（x4,y4,z4）

简单的说就任意取三个点为底，1/3（底*高）就是体积

附一个三角型面积公式：

S=(1/2)*       |   1     1     1|
                  |x1   x2   x3|
                  |y1   y2   y3|