[求作]边长平方和相等的三角形

watt5151

已知△ABC
请您在△ABC内作出点P，
使得△PAB、△PAC、△PBC的各边长的平方和相等。

watt5151

有个等周问题是‘使得△PAB、△PAC、△PBC的周长相等’，
本题是‘使得△PAB、△PAC、△PBC的各边长的平方和相等’。

chenjun_nj

作法：
作AE⊥BC，垂足为E，取BC的中点D，取E'点使ED=DE'，作PE'⊥BC；
同样的作法，作PG'⊥AC；
PE'和PG'两线交于P点，完成。
证明：
AC*AC-AB*AB=(EC*EC+AE*AE)-(BE*BE-AE*AE)=EC*EC-BE*BE=BE'*BE'-CE'*CE'=PB*PB-PC*PC
BC*BC-AB*AB=AG'*AG'-CG'*CG'=PA*PA-PC*PC
∴AB*AB+PA*PA+PB*PB=AB*AB+PA*PA+(AC*AC-AB*AB+PC*PC)=AC*AC+PA*PA+PC*PC
同理可证AB*AB+PA*PA+PB*PB=BC*BC+PB*PB+PC*PC
证毕。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-12-7 11:39:00作法：作AE⊥BC，垂足为E，取BC的中点D，取E'点使ED=DE'，作PE'⊥BC；同样的作法，作PG'⊥AC；PE'和PG'两线交于P点，完成。证明：AC*AC-AB*AB=(EC*EC+AE*AE)-(BE*BE-AE*AE)=EC*EC-BE*BE=BE'*BE

绝了！！

qjchen

:),如叶老师所言

做垂心关于外心的对称点（其实与上述做法是等价的）

可参考 类似垂心-《平面几何中的小花》（单墫老师）P132