[求作]构造四直线，交点为正方形

watt5151

已知直线上有A、B、C、D四定点，
请您分别过A、B、C、D作四直线，使其交点组成正方形。

qjchen

:)，watt今天的题就选一题来做了

此题和

http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=66156

有相通之处

 

其他几题大概可以用费马点，60度+阿氏圆来做一下了

watt5151

2楼的作法详细有余，学习了。
同一象棋谱，通常有多个解法，以步数最少的为正解。
同一作图题，通常有多个解法，是不是以画线最少的为正解呢？

作：
①以为AD直径作园，取下半园的中点E
②以为BC直径作园，取下半园的中点F
③延长EF分别交二园于G、H
则直线AH、BG、CG、DH为所求。

证明要点：
∠AHG=∠DHG=∠..=∠..=45°

chenjun_nj

watt5151发表于2008-12-8 15:23:002楼的作法详细有余，学习了。同一象棋谱，通常有多个解法，以步数最少的为正解。同一作图题，通常有多个解法，是不是以画线最少的为正解呢？

好象有道理，但不尽然。
现在已进入数值计算时代，直观、好理解才是硬道理！
比如应用最广的CATIA和ProE两个3D设计软件的草图约束，一般不用几何定理求解，而是用插值或逼近算法求得满足需要精度的解。

mccad

最少的步骤可能是：

从B点作长度为CD的垂直线段BE，连接AE即为所求4条线中的一条。

qjchen

:)

Mccad总果然是一般不出手，出手吓死人啊:P，果然够简单

Watt的方法也比我要好

谢谢Chenjun_nj兄的解释。（不过也提些个人的看法，确实，在实际工程复杂多变的情况中，能用尺规解的概率微乎其微，CATIA等数值解法大概是唯一的解法，正像弹性力学解析解只能给出极少数实际受力情况，而有限元确能给出数值解法一般。稍微有些让人遗憾的就是，数值解法多数是针对已知参数的情况，在发现参数变化时候的问题趋势的时候总还不是很明朗）

此处我也为自己申辩一下

来MJTD的几何算法版块，看了众多高手的解题方法，使我在几何作图方面有了不小的进步，解题思路也慢慢地有了一定的系统性。最近的解法多数是采用几何画板在寻找一种不变量或者轨迹。这种从中找到不变量的感觉很有趣，有空希望来发个帖子简单说明一下。

或者正如克莱因所提倡的“几何学就是研究空间在不变群下不变性质的学科。”

watt5151

mccad发表于2008-12-9 4:40:00最少的步骤可能是：从B点作长度为CD的垂直线段BE，连接AE即为所求4条线中的一条。

5楼mccad大哥的方法的确‘少而精’，可能是最少的步骤啦，不错不错。
在楼主的帖子范围内，代写下作法：
作：
①作BE⊥AD  取BE=CD
②作BH∥AE 作CF⊥AE 作DG⊥AE

证：
∵KH=CDSinD=BESinBEA=KF
∴矩形KHGF是正方形，完了。

用最少的线完成作图，也是行家的作风。
下面的题选自《解决问题的策略》，感兴趣吗？

 

qjchen

《解决问题的策略》，原来冯志刚老师翻译过。有一天在网上不小心看到这本书的英文原版，放在了这里。各位可以看看。watt的答案在316面处。

 http://structure.cn.googlepages.com/A.EngelProblem_solving_strategies.djvu

djvu是一种类似pdf的格式，个头更小，也非常清晰，可通过下载windjview来查看，或者安装ie插件，建议前者。

Andyhon

不是最简.....
取 AB or CD 为半径长,B & C 为圆心作圆

Sorry! 不好意思,只能得出矩形,特例才会是正方形

watt5151

偶尔翻阅《匈牙利奥林匹克数学竞赛题解》一书，第30 页--→
1楼的题原来是1898年的竞赛题！其标准答案正是5楼mccad的作法！！
书中的标准答案还提示了当 A、B、C、D 不共线时的作法：
作BE⊥CD ,取BE=CD ,过B作AE的平行线，分别过C、D作AE的垂线 . .