曲线类型问题

hejoseph

这个问题若熟悉二次曲面是不难的。
给定两条异面直线a、b和与这两条直线都相交的平面α，每个与α平行的或重合平面β与a、b的交点确定一条直线，这些直线形成了一个曲面γ。现在过a、b公垂线的中点作一平面与a、b都平行，这个平面截曲面γ的截线是什么曲线呢？

chenjun_nj

hejoseph兄：
用空间解析几何可以列出方程求出，并且适合不是过公垂线的中点的情况，我给个用画法几何的求法。
以平面α为X-Y平面进行坐标转换，旋转Z轴，使得在X-Z平面上的投影，平面α成水平线、直线a和b成平行线a'和b'；
那么a'和b'的距离就是直线a和b的公垂线距离，与直线a和b均平行的平面必定投影成a'和b'的平行线π，并且和a'和b'的距离比为分a和b的公垂线的比例；
那么空间直线a和b在X-Y平面上的投影为两条相交的直线a"和b"(如平行那么a和b就成了空间平行直线了)；
于是可以知道与平面α平行的平面β在X-Z平面上的投影是与α线平行的β线，那么平面β与直线a和b的交点P、Q在X-Y平面上的投影就是β线与a'和b'线的交点P'和Q'，将P'和Q'点向下作垂线分别交a"和b"于P"、Q"两点就是P、Q在X-Y平面上的投影；
PQ线与平面π的交点M在X-Z平面上的投影就是β线与π线的交点M'，在X-Y平面上的投影为过M'的垂线与P"Q"线的交点M";
容易证明M"的轨迹是直线m"，而我们知道m线在X-Z平面的投影是与π线重合的直线，所以我们就已经证明了曲面γ与π平面的交线是空间的一条直线。

hejoseph

对的，我也是用解析几何的方法计算出来的。

chenjun_nj

这个是由两组直线组成的直纹曲面，我们常见的圆锥面是由一组直线组成的，不应该有三组直线组成的曲面，那样就成平面了。