[求作]划分△ABC的周长与面积(备份篇)

watt5151

已知△ABC
设△ABC的周长被某直线划分m:n两部分的同时，面积也被划分为m:n
①当m:n=1:1时，请您作出这条直线。
②当m:n=最大值时，再次请您作出这条直线。
③当m:n=最小值时，再次请您作出这条直线。

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原帖chenjun_nj的回复：

如下图，AF/CF=m/n，DF∥BE，设AD=X，其他的就好算了。

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注意内心：
过内心画直线将△ABC分为两部分，如果此时△ABC的周长被划分为m:n，那么它的面积也同时被划分为m:n

根据上述的内心性质，1楼的题目可以简化为下题：(大众化，将‘m:n=1:2’也简化为‘平分’)
已知 I是△ABC的内心
请您过I作截线DE，平分△ABC的周长(或者面积)；
再次请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最大；
最后请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最小。

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原帖yimin0519的回复：

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整理两个证明：

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呵呵，还有等分面积：
1、计算法：

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2、等分周长法（尺规画法）：

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（更正：应当是PR⊥BC）

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yimin0519提供的资料不错，值得一读。
凑热闹，楼主也转载‘等分三角形面积、周长的方法’(网上资料):

等分三角形面积 

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等分三角形面积

作者：張至皓、何玉婉、何知一、張城豪 

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等分三角形周长

作者： 廖文偉、鄭慈、林士捷

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原帖chenjun_nj的回复：

对有内切圆的多边形也有同样的规律，过内切圆心的直线分割周长和面积为相同的比例。

这个不是猜想。
设多边形的内切圆半径为r，过内切圆心的直线m分多边形的周长为p1和p2两部分，那么过内切圆心连多边形的各个顶点，可知直线m两边的面积分别为p1*r/2和p2*r/2(各个小三角形的面积之和)，显然它们的比例也是p1:p2。

watt5151

小结几句：
㈠2楼chenjun_nj的计算作图是最老实的方法。
  听妈妈说，老实不等于精灵。本题应该有比计算更巧妙的方法。
㈡注意内心：过内心的直线分割三角形的周长和面积为相同的比例！详见4楼yimin0519的‘三角形内心的一个性质’。
  于是，1楼题可以简单化为3楼题：过内心作分割三角形的面积(或者周长）为要求的比例。
㈢4至7楼详述了由△ABC内(外)已知点作平分三角形面积(周长)的直线的方法，套用这些方法，3楼的题目即可完解；
㈣如果利用已知点是特殊点内心，作法还可以更简单。
  下面就3楼的题目作分步解：

已知 I是△ABC的内心
请您过I作截线DE，平分△ABC的周长(或者面积)；
作：
①取AC的中点X
②作∠ABY=∠AIX
③作∠YDI=∠YAC
则由D、I所确定的直线为所求。

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证：
①∵△ABY∽△AIX
  ∴AB/AI=AY/AX ....****
②∵△ADY∽△AIE  
  ∴AD/AI=AY/AE....####
③ 比较****和####
   可得 AD×AE=AB×AX=AB×AC/2
④于是，△ADE面积=△ABC面积/2
完了

watt5151

已知 I是△ABC的内心
再次请您过I作截线DE，使得△ADE的面积最大；
选择相应的顶点 . .具体作法见4楼。

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已知 I是△ABC的内心
最后请您过I作截线DE，平分△ADE的面积最小。
选择相应的顶点 . . 具体作法、证明见4。

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