椭圆2

baoshisun4

 问题:椭圆的最大面积内接三角形中,周长取最大、最小值的必是等腰的.

chenjun_nj

好！三角函数功夫了得！

highflybir

不妨顺便问一下： 如果是矩形呢？

如何求一个椭圆的最大内接或者外切矩形？（最大面积或最大周长）

lymjkl2008

告诉版主一个基本的事实：椭圆最大多边形的面积情况即为圆的情况，椭圆的最大内接四边形面积一定是平行四边形，均为：2ab，外切最大多边形的面积和周长可以无穷大。内接多边形满足周长最大时，其一定是光反射多边形。

baoshisun4

答版主：内接矩形与椭圆有相同的对称轴，这时最小的不存在;最大周长$L_max=4sqrt{a^2+b^2}$;

最大面积是$S_max=2ab$.

外切矩形问题我已解决，以后发过来。

结论是：椭圆的$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}{b^2}=1(a>b>0)外切矩形ABCD，最大的是$A(sqrt{a^2+b^2},0)$,

$B(0,sqrt{a^2+b^2},0),C(-sqrt{a^2+b^2},0),D(0,-sqrt{a^2+b^2})$，它是正方形；

最小的是切于椭圆的4个顶点的那个矩形，面积$S=2ab$,周长$L=4(a+b)$.

highflybir

呵呵，这几个问题我是随便问问，没有深思， “内接多边形满足周长最大时，其一定是光反射多边形。”这个很有意思，但我真的不知道，谢谢lymjkl2008相告，可以证明这个原理吗？如果是光反射，是不是能反射到起始点的路线是极值路线吗？可有链接或者相关资料提供？