关于作圆接三角形，使其三边各通过三已知点

chenjun_nj

mahuan1279 发表于 2023-12-17 19:05
在极端情况，P、Q、R分别为圆内接正三角形的各边的中点。故猜测OP^2+OQ^2+OR^2>=3*r^2/4时有解。

可以举出反例：令OP=OQ=OR=R/2
那么R点所在的BC边所对应的圆周角>=60°，只要使P和Q点足够的近，可使∠PAQ<60°，此时无解。
我的思路是，固定P和Q点后，A点为圆周上的动点，那么BC线的包络是一个椭圆，R点在椭圆外有两解，
在椭圆周上有一解，在椭圆内部无解。

mahuan1279

chenjun_nj 发表于 2023-12-17 20:26
可以举出反例：令OP=OQ=OR=R/2
那么R点所在的BC边所对应的圆周角>=60°，只要使P和Q点足够的近，可使∠P ...

你这不就是（3/4）*R^2吗？我说的也就是这种极限情况。

chenjun_nj

mahuan1279 发表于 2023-12-17 20:56
你这不就是（3/4）*R^2吗？我说的也就是这种极限情况。

你没理解我的意思，就算三点到圆心都是3R/4，只要PQ足够近，∠A就可以小到任意的角度，而过R的BC边对应的圆周角是有确定的最小值的。

chenjun_nj

我对题目的分析，分四个部分。