过一点作直线截已知三角形，使所截三角形与原三角形面积相等

highflybird · 发表于 2023-11-13 11:05:11

本帖最后由 highflybird 于 2023-11-13 11:11 编辑

很早的一道题目了，下面链接是此题的来源：
[讨论]几何作图问题3－平分面积 - 几何算法 - AutoCAD论坛 - 明经CAD社区 - ET,四边形的,几何作图,四边形,三角形 - Powered by Discuz! (mjtd.com)
一看日期，十六年了！！！

不过我记得后来又在另外的帖子中出现（大概6年前的）

chenmik · 发表于 2023-11-13 13:31:32

多谢各位的解答。第一个问题关于作法：

chenmik · 发表于 2023-11-13 13:38:23

其实第二个问题，关于过一点可作几条这样的直线？才是我关注的。下面是我的结论，不知是否正确？有不对的地方，请指正！

highflybird · 发表于 2023-11-13 13:59:57

本帖最后由 highflybird 于 2023-11-13 18:45 编辑

我给出的链接中，其中watt5151已经给出了精妙的解法，如下:

mahuan1279 · 发表于 2023-11-13 14:07:39

highflybird 发表于 2023-11-13 13:59
我给出的链接中，其中watt5151已经给出了精妙的解法，如下:

此法不适用于P在角平分线上的情形。

highflybird · 发表于 2023-11-13 14:11:53

再添加一动画演示。

可以看到，如果P点在三角形内部，有解。
如果在三角形外部，一般有两解，也存在无解情况。

highflybird · 发表于 2023-11-13 14:33:16

mahuan1279 发表于 2023-11-13 14:07
此法不适用于P在角平分线上的情形。

也可以适用，只不过稍作修改，此时E点和P点重合，可以过P作垂线垂直于AC，此垂线于PD的中垂线交点为圆心，然后就可以求出了。

highflybird · 发表于 2023-11-13 14:46:31

本帖最后由 highflybird 于 2023-11-13 21:43 编辑

chenmik 发表于 2023-11-13 13:38
其实第二个问题，关于过一点可作几条这样的直线？才是我关注的。下面是我的结论，不知是否正确？有不对的地 ...

楼主的这个结论应该成立，我的作法只是任取一条三角形的边AC，因此，此作图法亦可对边AB，BC成立。
当P点在内部时，有6解。外部情形解的个数为：6 、3、0?
但现在看起来，在外部时，至少有1个解，不可能无解。

下面是在三角形内部的情况：

mahuan1279 · 发表于 2023-11-13 16:45:44

本帖最后由 mahuan1279 于 2023-11-13 17:36 编辑

chenmik 发表于 2023-11-13 13:38
其实第二个问题，关于过一点可作几条这样的直线？才是我关注的。下面是我的结论，不知是否正确？有不对的地 ...

没有重合的可能吗？感觉在特殊情况下某两条线会重合。

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[尺规拾趣] 过一点作直线截已知三角形，使所截三角形与原三角形面积相等